每日一题[494]滑动的线段

已知两条直线$l_1,l_2$相交于点$O$，点$A$在直线$l_1$上运动，点$B$在直线$l_2$上运动，且线段$AB$的长为定值$2m$，求$AB$的中点$M$的轨迹．

解    如图建系，设$l_1,l_2$的夹角为$2\theta$，$k=\tan\theta$，直线$OA$和直线$OB$的方程分别为$y=kx$和$y=-kx$．

设$A(a,ka)$，$B(b,-kb)$，$M(x,y)$，则 $$2x=a+b,2y=k(a-b),$$ 代入 $$(a-b)^2+k^2(a+b)^2=(2m)^2$$ 中，可得 $$\dfrac{4y^2}{k^2}+4k^2x^2=4m^2,$$ 即 $$k^2x^2+\dfrac{y^2}{k^2}=m^2.$$

下面留一组练习．

1、若$OA+OB$为定值，求$AB$的中点的轨迹．

2、若三角形$OAB$的面积为定值，求$AB$的中点的轨迹．