每日一题[502]欧拉公式

利用欧拉公式（多面体的顶点数$V$，面数$F$，棱数$E$满足$V+F-E=2$）推导：

（1）正多面体不超过$5$种；

（2）足球由$12$个正五边形和$20$个正六边形构成．

证明    （1）假设正多面体的每个面都是正$n$边形，且每个顶点出发的棱数为$m$，那么 $$2E=nF=mV,$$ 于是 $$V=\dfrac{2E}m,F=\dfrac{2E}n,$$ 代入欧拉公式，有 $$\dfrac{2E}m+\dfrac{2E}n-E=2,$$ 也即 $$\dfrac 1m+\dfrac 1n=\dfrac 12+\dfrac 1E,$$ 因此 $$\dfrac 1m+\dfrac 1n>\dfrac 12.$$ 结合$m,n\geqslant 3$可知$m,n$至少有一个是$3$，因此所有可能的正整数解$(m,n)$为 $$(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3),$$ 共$5$组，因此正多面体不超过$5$种．

事实上，这五种正多面体都可以作出，分别为正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体，如图．

（2）假设足球由$x$个正五边形（黑色）和$y$个正六边形构成，那么 $$V=5x,F=x+y,E=5x+\dfrac 32y,$$ 代入欧拉公式并化简可得 $$2x-y=4.$$

另一方面，考虑所有正五边形的边数之和，有 $$5x=3y.$$

从而根据两个方程可以解得 $$x=12,y=20,$$ 因此命题得证．