每日一题[467]统一变量

已知$a,b\in [0,1]$，求$S(a,b)=\dfrac a{1+b}+\dfrac b{1+a}+(1-a)(1-b)$的最小值．

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解    先进行代数变形，有

$$\begin{split} S(a,b)&=\dfrac{a(1+a)+b(1+b)+(1-a^2)(1-b^2)}{(1+a)(1+b)}\\ &=1-\dfrac{ab-a^2b^2}{ab+a+b+1} \\ &\geqslant 1-\dfrac{ab(1-ab)}{ab+2\sqrt{ab}+1}\\ &=1-\dfrac{ab(1-\sqrt{ab})}{1+\sqrt {ab}},\end{split}$$ 当$a=b$时取到等号．

令$x=\sqrt{ab}$，则$x\in [0,1]$，有

$$\dfrac{ab(1-\sqrt{ab})}{1+\sqrt {ab}}=\dfrac{x^2-x^3}{1+x},$$ 记右侧为函数$f(x)$，则$f(x)$的导函数 $$f'(x)=\dfrac{-2x(x^2+x-1)}{(1+x)^2},$$ 于是当$x=\dfrac{\sqrt 5-1}2$时，函数$f(x)$取得最大值 $$f\left(\dfrac{\sqrt 5-1}2\right)=\dfrac{5\sqrt 5-11}2,$$ 因此原代数式$S(a,b)$的最小值为$\dfrac{13-5\sqrt 5}2$，当$a=b=\dfrac{\sqrt 5-1}2$时取到．