每日一题[478]这里的山路十八弯

已知$a_1,a_2,\cdots ,a_{10}$与$b_1,b_2,\cdots ,b_{10}$为互不相同的$20$个实数，若方程

$$|x-a_1|+|x-a_2|+\cdots +|x-a_{10}|=|x-b_1|+|x-b_2|+\cdots +|x-b_{10}|$$ 有有限多个解，则此方程最多有_______个解．

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解    问题即函数

$$f(x)=|x-a_1|+|x-a_2|+\cdots +|x-a_{10}|-|x-b_1|-|x-b_2|-\cdots -|x-b_{10}|$$ 的零点个数问题．

我们熟知绝对值函数$f(x)$的图象是一条两条射线与若干条线段连接而成的折线（可以参考每日一题[203]黎明前的黑暗）．在这个问题里，每次折线转折时斜率改变量均为$2$或$-2$，且每种改变量都取$10$次．

一方面，为了使得函数$f(x)$的零点个数尽可能的多，应当使得斜率改变量依次为

$$2,-2,-2,2,2,-2,-2,2,\cdots ,$$ 如图（示意图中两种改变量分别为$4$次）．并且在实际的构造中，还需要使得折线中每一条非水平的线段穿过$x$轴后再发生转折．

另一方面，由于当$x$很小以及很大时函数$f(x)$的函数值分别为

$$a_1+a_2+\cdots +a_{10}-b_1-b_2-\cdots -b_{10}$$ 以及 $$-\left(a_1+a_2+\cdots +a_{10}-b_1-b_2-\cdots -b_{10}\right),$$ 因此函数$f(x)$的图象中首尾射线均为水平方向，且分居$x$轴的两侧．这样就意味着至少有一条非水平的折线段无法穿过$x$轴．

综合以上两方面可知，此方程最多有$9$个解．