每日一题[425]纵横交错

已知直线$ax+by-1=0$（$a,b$不全为$0$）与圆$x^2+y^2=50$有公共点，且公共点横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有____条．

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正确答案是$72$．

解　横纵坐标均为整数的点我们称为整点，圆在第一象限有三个整点

$$(1,7),(5,5),(7,1),$$ 从而知道圆上一共有$12$个整点．

再考虑$ax+by-1=0$可以表示什么样的直线？只要一条直线不经过原点，都可以化成这样的形式，所以它可以表示所有不经过原点的直线．

最后考虑与圆的公共点为这些整点，且不经过原点的直线有多少条？

如果公共点只有一个，即为圆的切线，共有$12$条，都满足；

如果公共点有两个，共有

$${\mathrm C}_{12}^2=66$$ 条直线，其中经过原点的有$6$条，所以满足条件的有$60$条；

综上知，这样的直线共有$12+60=72$条．

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下面给出一道练习：

已知直线$\dfrac xa+\dfrac yb=1$（$a,b$是非零常数）与圆$x^2+y^2=100$有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有____条．

答案　$60$．

提示　练习中直线的形式不同，既不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，与坐标轴平行的切线与割线都有，需要谨慎考虑．