已知直线$ax+by-1=0$（$a,b$不全为$0$）与圆$x^2+y^2=50$有公共点，且公共点横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有____条．
正确答案是$72$．
解 横纵坐标均为整数的点我们称为整点，圆在第一象限有三个整点$$(1,7),(5,5),(7,1),$$从而知道圆上一共有$12$个整点．
再考虑$ax+by-1=0$可以表示什么样的直线？只要一条直线不经过原点，都可以化成这样的形式，所以它可以表示所有不经过原点的直线．
最后考虑与圆的公共点为这些整点，且不经过原点的直线有多少条？
如果公共点只有一个，即为圆的切线，共有$12$条，都满足；
如果公共点有两个，共有$${\mathrm C}_{12}^2=66$$条直线，其中经过原点的有$6$条，所以满足条件的有$60$条；
综上知，这样的直线共有$12+60=72$条．
下面给出一道练习：
已知直线$\dfrac xa+\dfrac yb=1$（$a,b$是非零常数）与圆$x^2+y^2=100$有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有____条．
答案 $60$．
提示 练习中直线的形式不同，既不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，与坐标轴平行的切线与割线都有，需要谨慎考虑．
那么老师如果是$x^2+y^2=50$，练习中直线的话满足题意得是不是有60条？