每日一题[418]共线的向量表达

这是我在QQ群中国数学解题研究会里看到的问题：

如图，直角梯形$ABCD$中，$AB\parallel CD$，$\angle DAB=90^\circ$，$AD=AB=4$，$CD=1$，动点$P$在边$BC$上，且满足$\overrightarrow {AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AD}$($m,n$均为正实数)，则$\dfrac{1}{m}+\dfrac {1}{n}$的最小值为_______．

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正确答案是$\dfrac 74+\sqrt 3$．

分析   快速找到$m,n$所满足的约束条件是解决问题的关键．

解    根据题意，有

$$\begin{split} \overrightarrow{AP}&=\lambda \overrightarrow{AB}+(1-\lambda)\overrightarrow{AC}\\ &=\lambda\overrightarrow{AB}+(1-\lambda)\left(\overrightarrow{AD}+\dfrac 14\overrightarrow{AB}\right) \\ &=\left(\dfrac 14+\dfrac 34\lambda\right)\overrightarrow{AB}+(1-\lambda)\overrightarrow{AD},\end{split}$$ 因此$m,n$需要满足约束条件 $$m+\dfrac 34n=1,$$ 因此 $$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}\geqslant \dfrac{\left(1+\frac{\sqrt 3}2\right)^2}{m+\frac 34n}=\dfrac 74+\sqrt 3,$$ 等号当$m^2=\dfrac 34n^2$时取得．因此所求的最小值为$\dfrac 74+\sqrt 3$．

注    其中用到了柯西不等式：

$$a_1+a_2+\cdots +a_n\geqslant \dfrac{\left(\sqrt{a_1b_1}+\sqrt{a_2b_2}+\cdots +\sqrt{a_nb_n}\right)^2}{b_1+b_2+\cdots +b_n},$$ 其中$a_i,b_i>0$($i=1,2,\cdots ,n$)，等号取得的条件为 $$\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\cdots =\dfrac{a_n}{b_n}.$$ 不利用柯西不等式，直接用$\lambda$表示出$m,n$，通过 $$\dfrac 1m+\dfrac 1n=\left(\dfrac 1m+\dfrac 1n\right )\left(m+\dfrac 34n\right ),$$ 展开由均值不等式也可以得到结果．