每日一题[368]狐狸尾巴藏不住

2016年1月份浙江高中学业水平考试压轴题：

已知函数$f(x)=x|x+a|+m|x-1|$．

(1)$a=0$，$m=1$时，求函数$f(x)$的单调性；

(2)若函数$f(x)$在$[0,2]$上取得最大值$a+1$，求$m$的取值范围（用$a$表示）．

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分析    (1)当$a=0$，$m=1$时，$f(x)=x|x|+|x-1|$，因此只需要按分界点$0,1$进行讨论即可．

(2)从正面解决问题比较困难，因为含有两个参数且含有两个绝对值符号的函数的最大值需要进行大量的讨论．然而在细心观察之后可以发现$a+1$这个值与$f(1)=|a+1|$之间有着紧密的联系．揪住这条“狐狸尾巴”就可以发动猛烈的攻击了．

解    (1)此时函数

$$f(x)=\begin{cases} x^2+x-1,x\geqslant 1,\\ x^2-x+1,0<x<1,\\-x^2-x+1,x\leqslant 0\end{cases}$$ 因此函数在$\left(-\infty,-\dfrac 12\right)$上单调递增，在$\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right)$上单调递减，在$\left(\dfrac 12,+\infty\right )$上单调递增．

(2)由于$a+1$是函数$f(x)$的最大值，因此

$$a+1\geqslant f(1)=|a+1|,$$ 于是$a\geqslant -1$．

此时

$$f(0)=m\leqslant a+1,f(2)=2a+4+m\leqslant a+1,$$ 从而 $$m\leqslant -a-3.$$

下面证明$m\leqslant -a-3$时符合题意．

第一种情况，$a\geqslant 0$．

此时函数$f(x)$被分界点$1$分为两段．在区间$[0,1)$和区间$[1,2]$上的抛物线均开口向上，结合$f(0)$与$f(2)$均不超过$a+1$，因此函数$f(x)$在$[0,2]$上的最大值为$a+1$，符合题意；

第二种情况，$a=-1$．

此时函数$f(x)=(x+m)\cdot \big|x-1\big|$，当$m\leqslant -a-3=-2$时，有$x+m\leqslant 0$，因此$f(x)\leqslant 0$，符合题意．

第三种情况，$-1< a<0$．

此时函数$f(x)$被分界点$-a,1$分为三段．

先考虑分界点$x=-a$处的函数值，有

$$f(-a)=m(1+a)< a+1.$$

在区间$[0,-a)$上的抛物线开口向下，而对称轴为$x=-\dfrac{m+a}2$．由$m\leqslant -a-3$可得

$$-\dfrac{m+a}2\geqslant \dfrac 32>1\geqslant -a,$$ 因此有 $$f(x)< f(-a)< a+1.$$

在区间$[-a,1)$和$[1,2]$上，抛物线均开口向上，结合$f(-a)$和$f(2)$均不超过$a+1$，因此函数$f(x)$在$[-a,2]$上的最大值为$a+1$．

综上所述，$m$的取值范围是$(-\infty,-a-3]$，其中$a\geqslant -1$．