设\(a_1\)，\(a_2\)，\(\cdots\)，\(a_n\)是一组不为零的实数．证明：关于\(x\)的方程\(\sqrt{1+a_1 x}+\sqrt {1+a_2x}+\cdots +\sqrt{1+a_nx}=n\)至多有两个实根．
分析 观察方程，可知\(x=0\)是方程的一个根，只需证明此方程除\(0\)之外至多还有一个根．观察方程发现左边含有$n$个根号，右边是$n$，当$x=0$时，每个根式的值都为$1$，故将\(n\)看作\(n\)个\(1\)相加，并移到等号左边，进行分子有理化处理，即可找到解题思路．
解 方程\(\sqrt{1+a_1 x}+\sqrt {1+a_2x}+\cdots +\sqrt{1+a_nx}=n\)可整理为\[\left(\sqrt {1+a_1x}-1\right)+\left(\sqrt{1+a_2x}-1\right)+\cdots+\left(\sqrt{1+a_nx}-1\right)=0,\]对式子\(\left(\sqrt {1+a_ix}-1\right)(i=1,2,3,\cdots,n)\)分子有理化，可得\[\dfrac{a_1x}{\sqrt{1+a_1x}+1}+\dfrac{a_2x}{\sqrt{1+a_2x}+1}+\cdots+\dfrac{a_nx}{\sqrt{1+a_nx}+1}=0,\]即\[x\left(\dfrac{a_1}{\sqrt{1+a_1x}+1}+\dfrac{a_2}{\sqrt{1+a_2x}+1}+\cdots+\dfrac{a_n}{\sqrt{1+a_nx}+1}\right)=0,\]下面来证明方程\[\dfrac{a_1}{\sqrt{1+a_1x}+1}+\dfrac{a_2}{\sqrt{1+a_2x}+1}+\cdots+\dfrac{a_n}{\sqrt{1+a_nx}+1}=0\]至多有一个实根，令\(f_i(x)=\dfrac{a_i}{\sqrt{1+a_ix}+1}(i=1,2,3,\cdots,n)\)，则\[f_i'(x)=-\dfrac{\frac{a_i^2}{2\sqrt{1+a_ix}}}{\left(\sqrt{1+a_ix}+1\right)^2}<0,\]所以\(f_i(x)\)在定义域内单调递减（事实上根据复合函数也可以得到单调性），故\[g(x)=f_1(x)+f_2(x)+\cdots+f_n(x)\]在定义域内单调递减，因此\(g(x)\) 至多有一个零点，命题得证．