已知abc=−1，a2c+bc2=1，a2b+b2c+c2a=t，求ab5+bc5+ca5的值．
按 这是非常经典的一道代数变形试题，条件∑cyca2b=t使得原本就不易的试题更显得扑朔迷离．事实上，代数变形的三大思路（消元、降次以及换元）都可以在这一道试题中淋漓尽致的体现，尤其是最后一种三角换元的解法更是让人拍案称绝．
- 消元
由abc=−1得b=−1ac，于是a2c+bc2=1⇔ac3=a3c2−1.此时欲求代数式ab5+bc5+ca5=−1a4c5−c4a+ca5=−1−a3c9+a9c6a4c5=−1−(a3c2−1)3+a9c6a4c5=−3a3c2+3a6c4a4c5=3.
- 降次
由a2c+bc2=1得a2c=c2−b.该式两边同乘以b，可得c2b=b2−a.进而两边同乘以a，可得b2a=a2−c.
于是ab5+bc5+ca5=∑cyca3(c2−b)=∑cyc(ac(c2−b)−a3b)=∑cyc(−abc)=3
从这个解法中我们可以发现事实上条件a2c+bc2=1从本质上是轮换的，在下面的解法中这一事实可以被更直接的发现．
- 齐次
令a=−xy，b=−yz，c=−zx，则
a2c+bc2=1⇔x3z2+y3x2+z3y2=0.
欲求代数式ab5+bc5+ca5=∑cycxy⋅y5z5=∑cycxy4z5=1x5y5z5∑cycx6y9.
事实上，由x3z2+y3x2+z3y2=0可得x6y9+y6z9+z6x9=3(x2y3)⋅(y2z3)⋅(z2x3).
这是因为a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca),于是a+b+c=0⇔a3+b3+c3=3abc.
- 三角换元
(i)当c>0时，令{a=c12sinθb=c2cos2θ,则由abc=−1，得c72=−1sinθcos2θ.
于是ab5+bc5+ca5=c212sinθcos10θ+c7cos2θ+c72sin5θ=−sinθcos10θsin3θcos6θ+cos2θsin2θcos4θ−sin5θsinθcos2θ=−cos4θsin2θ+1sin2θcos2θ−sin4θcos2θ=−cos6θ+1−sin6θsin2θcos2θ=3.
(ii)当c<0时，令{a=(−c)12tanθb=c2sec2θ,以下略．