已知\(abc=-1\)，\(\dfrac {a^2}c+\dfrac b{c^2}=1\)，\(a^2b+b^2c+c^2a=t\)，求\(ab^5+bc^5+ca^5\)的值．
按 这是非常经典的一道代数变形试题，条件\(\sum\limits_{cyc}a^2b=t\)使得原本就不易的试题更显得扑朔迷离．事实上，代数变形的三大思路（消元、降次以及换元）都可以在这一道试题中淋漓尽致的体现，尤其是最后一种三角换元的解法更是让人拍案称绝．
- 消元
由\(abc=-1\)得\(b=-\dfrac 1{ac}\)，于是\[\dfrac {a^2}c+\dfrac b{c^2}=1\Leftrightarrow ac^3=a^3c^2-1.\]此时欲求代数式\[\begin{split}ab^5+bc^5+ca^5&=-\dfrac 1{a^4c^5}-\dfrac {c^4}a+ca^5\\&=\dfrac {-1-a^3c^9+a^9c^6}{a^4c^5}\\&=\dfrac {-1-\left(a^3c^2-1\right)^3+a^9c^6}{a^4c^5}\\&=\dfrac {-3a^3c^2+3a^6c^4}{a^4c^5}\\&=3.\end{split}\]
- 降次
由\(\dfrac {a^2}c+\dfrac b{c^2}=1\)得\[a^2c=c^2-b.\]该式两边同乘以\(b\)，可得\[c^2b=b^2-a.\]进而两边同乘以\(a\)，可得\[b^2a=a^2-c.\]
于是\[\begin{split}ab^5+bc^5+ca^5&=\sum\limits_{cyc}a^3\left(c^2-b\right)=\sum\limits_{cyc}\left(ac(c^2-b)-a^3b\right)=\sum\limits_{cyc}\left(-abc\right)=3\end{split}\]
从这个解法中我们可以发现事实上条件\(\dfrac {a^2}c+\dfrac b{c^2}=1\)从本质上是轮换的，在下面的解法中这一事实可以被更直接的发现．
- 齐次
令\(a=-\dfrac xy\)，\(b=-\dfrac yz\)，\(c=-\dfrac zx\)，则
\[\dfrac {a^2}c+\dfrac b{c^2}=1\Leftrightarrow x^3z^2+y^3x^2+z^3y^2=0.\]
欲求代数式\[\begin{split}ab^5+bc^5+ca^5&=\sum_{cyc}\dfrac xy\cdot\dfrac {y^5}{z^5}=\sum_{cyc}\dfrac {xy^4}{z^5}=\dfrac 1{x^5y^5z^5}\sum_{cyc}x^6y^9.\end{split}\]
事实上，由\(x^3z^2+y^3x^2+z^3y^2=0\)可得\[x^6y^9+y^6z^9+z^6x^9=3(x^2y^3)\cdot(y^2z^3)\cdot(z^2x^3).\]
这是因为\[a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca),\]于是\[a+b+c=0\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc.\]
- 三角换元
(i)当\(c>0\)时，令\[\begin{cases}a=c^{\frac 12}\sin\theta \\b=c^2\cos^2\theta\end{cases},\]则由\(abc=-1\)，得\[c^{\frac 72}=-\dfrac 1{\sin\theta\cos^2\theta}.\]
于是\[\begin{split}ab^5+bc^5+ca^5&=c^{\frac {21}2}\sin\theta\cos^{10}\theta+c^7\cos^2\theta+c^{\frac 72}\sin^5\theta\\&=-\dfrac {\sin\theta\cos^{10}\theta}{\sin^3\theta\cos^6\theta}+\dfrac {\cos^2\theta}{\sin^2\theta\cos^4\theta}-\dfrac {\sin^5\theta}{\sin\theta\cos^2\theta}\\&=-\dfrac {\cos^4\theta}{\sin^2\theta}+\dfrac 1{\sin^2\theta\cos^2\theta}-\dfrac {\sin^4\theta}{\cos^2\theta}\\&=\dfrac {-\cos^6\theta+1-\sin^6\theta}{\sin^2\theta\cos^2\theta}\\&=3.\end{split}\]
(ii)当\(c<0\)时，令\[\begin{cases}a=(-c)^{\frac 12}\tan\theta\\b=c^2\sec^2\theta\end{cases},\]以下略．