本文作者我爱数学，由meiyun编辑修改．
近读《数海拾贝》上的一篇文章《还是熟悉的配方，还是原来的味道》，受益匪浅，但又觉得意犹未尽，作了如下思考．原文的例题1如下：
已知点\(P(x,y)\)为曲线\(xy-\dfrac{5}{2}x-2y+3=0\)上一点，求\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\)的最小值．
原解答采用拉格朗日配方法进行了配方，得到\[\begin{split} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}&={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\left(xy-\frac{5}{2}x-2y+3\right)\\&={{\left(x+\frac{1}{2}y-\frac{5}{4}\right)}^{2}}+\frac{3}{4}{{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^{2}}+\frac{5}{4}.\end{split} \]从而有\(x^2+y^2\geqslant \dfrac 54\)且当\(x=1,y=\dfrac 12\)时取到等号．
为此引出了思考一 为什么只添加一倍的零？
我们添加\(\lambda \)倍的零，试试看：
\[\begin{split} x^2+y^2&={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\lambda \left(xy-\frac{5}{2}x-2y+3\right )\\&={{x}^{2}}+\left(\lambda y-\dfrac{5}{2}\lambda \right )x+{{y}^{2}}-2\lambda y+3\lambda \\&={{\left(x+\frac{2\lambda y-5\lambda }{4}\right)}^{2}}+\left(1-\dfrac{{{\lambda }^{2}}}{4}\right){{y}^{2}}+\lambda \left(\dfrac{5}{4}\lambda-2\right ) y+\lambda \left(3-\dfrac{25}{16}\lambda \right ).\end{split} \]
若\(1-\dfrac{{{\lambda }^{2}}}{4}\geqslant 0\)，即\(-2\leqslant \lambda \leqslant 2\)，此时当\[\begin{split} y&=\dfrac{\lambda \left(2-\frac{5}{4}\lambda\right )}{2\left(1-\frac{\lambda ^2}{4}\right)}=\dfrac{\lambda(8-5\lambda )}{2(4-\lambda ^2)},\\x&=\dfrac{5}{4}\lambda-\dfrac{\lambda}{2}y=\dfrac{\lambda (5-2\lambda)}{4-{\lambda }^{2}}\end{split}\]时，\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\)有最小值．
又点\(P(x,y)\)满足\(xy-\dfrac{5}{2}x-2y+3=0\)，故\[\dfrac {\lambda (5-2\lambda )}{4-\lambda ^2}\cdot\dfrac {\lambda (8-5\lambda )}{2(4-\lambda ^2)}-\dfrac 52\cdot\dfrac {\lambda (5-2\lambda )}{4-\lambda ^2}-2\cdot\dfrac {\lambda (8-5\lambda )}{2(4-\lambda ^2)}+3=0,\]整理得\[{\lambda}^{4}-18{\lambda }^{2}+41\lambda-24=0,\]用试根的方法得，\(\lambda \)可以取\(1\)，此时\(x=1,y=\dfrac{1}{2}.\)
思考二 有没有其它方法?
因式分解的功夫可以影响一个人的解题能力，对\(xy-\dfrac{5}{2}x-2y+3=0\)可作如下分解：\[(x-2)\left(y-\frac{5}{2}\right )=2,\]从而有\[y=\dfrac{5}{2}+\dfrac{2}{x-2}.\]可以断言：这是一条双曲线，于是问题转换为：
曲线\(y=\dfrac{5}{2}+\dfrac{2}{x-2}(x<2)\)上的点到原点距离的平方的最小值．
为方便起见，先介绍一个引理．
引理 方程\({{t}^{4}}+2{{t}^{3}}-5t-4=0\)在\((-\infty ,0)\)上仅有一个根．
设点\(P(x,y)\)为曲线\(y=\dfrac{5}{2}+\dfrac{2}{x-2}(x<2)\)上一点，其与原点连线的斜率为\({{k}_{1}}=\dfrac{\frac{5}{2}+\frac{2}{x-2}}{x}\)，点\(P(x,y)\)处的切线斜率为\(k_2=-\dfrac{2}{(x-2)^2}\)，当\({{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1\)时，\(P\)到原点的距离最小．从而有\[\frac{\frac{5}{2}+\frac{2}{x-2}}{x}\cdot \frac{2}{{{(x-2)}^{2}}}=1,\]
令\(t=x-2<0\)得：\[\frac{5+\frac{4}{t}}{t+2}\cdot \frac{1}{{{t}^{2}}}=1,\]即\[{{t}^{4}}+2{{t}^{3}}-5t-4=0,\]由引理知\(t=-1\)，\(x=t+2=1\)，\(y=\dfrac{5}{2}+\dfrac{2}{x-2}=\dfrac{1}{2}\)．
故\(P\)到原点的最小距离为\(\sqrt{1+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)，其平方为\(\dfrac{5}{4}\)．
引理的证明 显然\(t=-1\)是方程的根，于是我们可以因式分解得：\[(t+1)({{t}^{3}}+{{t}^{2}}-t-4)=0.\]只需证明\(f(t)={{t}^{3}}+{{t}^{2}}-t-4(t<0)\)没有零点．
对$f(t)$求导得\[f'(t)=3{{t}^{2}}+2t-1=(t+1)(3t-1),\]所以\(f(t)\)在\((-\infty ,-1)\)上单调递增，在\(\left(-1,\dfrac{1}{3}\right )\)上单调递减．
故\(f(t)\)在\(\left(-\infty ,\dfrac{1}{3}\right )\)上的极大值为\(f(-1)=-3\)．引理得证．