对《还是熟悉的配方，还是原来的味道》的思考

本文作者我爱数学，由meiyun编辑修改．

近读《数海拾贝》上的一篇文章《还是熟悉的配方，还是原来的味道》，受益匪浅，但又觉得意犹未尽，作了如下思考．原文的例题1如下：

已知点$P(x,y)$为曲线$xy-\dfrac{5}{2}x-2y+3=0$上一点，求${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$的最小值．

原解答采用拉格朗日配方法进行了配方，得到

$$\begin{split} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}&={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\left(xy-\frac{5}{2}x-2y+3\right)\\&={{\left(x+\frac{1}{2}y-\frac{5}{4}\right)}^{2}}+\frac{3}{4}{{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^{2}}+\frac{5}{4}.\end{split}$$ 从而有$x^2+y^2\geqslant \dfrac 54$且当$x=1,y=\dfrac 12$时取到等号．

为此引出了思考一　为什么只添加一倍的零？

我们添加$\lambda$倍的零，试试看：

$$\begin{split} x^2+y^2&={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\lambda \left(xy-\frac{5}{2}x-2y+3\right )\\&={{x}^{2}}+\left(\lambda y-\dfrac{5}{2}\lambda \right )x+{{y}^{2}}-2\lambda y+3\lambda \\&={{\left(x+\frac{2\lambda y-5\lambda }{4}\right)}^{2}}+\left(1-\dfrac{{{\lambda }^{2}}}{4}\right){{y}^{2}}+\lambda \left(\dfrac{5}{4}\lambda-2\right ) y+\lambda \left(3-\dfrac{25}{16}\lambda \right ).\end{split}$$

若$1-\dfrac{{{\lambda }^{2}}}{4}\geqslant 0$，即$-2\leqslant \lambda \leqslant 2$，此时当

$$\begin{split} y&=\dfrac{\lambda \left(2-\frac{5}{4}\lambda\right )}{2\left(1-\frac{\lambda ^2}{4}\right)}=\dfrac{\lambda(8-5\lambda )}{2(4-\lambda ^2)},\\x&=\dfrac{5}{4}\lambda-\dfrac{\lambda}{2}y=\dfrac{\lambda (5-2\lambda)}{4-{\lambda }^{2}}\end{split}$$ 时，${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$有最小值．

又点$P(x,y)$满足$xy-\dfrac{5}{2}x-2y+3=0$，故

$$\dfrac {\lambda (5-2\lambda )}{4-\lambda ^2}\cdot\dfrac {\lambda (8-5\lambda )}{2(4-\lambda ^2)}-\dfrac 52\cdot\dfrac {\lambda (5-2\lambda )}{4-\lambda ^2}-2\cdot\dfrac {\lambda (8-5\lambda )}{2(4-\lambda ^2)}+3=0,$$ 整理得 $${\lambda}^{4}-18{\lambda }^{2}+41\lambda-24=0,$$ 用试根的方法得，$\lambda$可以取$1$，此时$x=1,y=\dfrac{1}{2}.$

思考二　有没有其它方法?

因式分解的功夫可以影响一个人的解题能力，对$xy-\dfrac{5}{2}x-2y+3=0$可作如下分解：

$$(x-2)\left(y-\frac{5}{2}\right )=2,$$ 从而有 $$y=\dfrac{5}{2}+\dfrac{2}{x-2}.$$ 可以断言：这是一条双曲线，于是问题转换为：

曲线$y=\dfrac{5}{2}+\dfrac{2}{x-2}(x<2)$上的点到原点距离的平方的最小值．

为方便起见，先介绍一个引理．

引理　方程${{t}^{4}}+2{{t}^{3}}-5t-4=0$在$(-\infty ,0)$上仅有一个根．

设点$P(x,y)$为曲线$y=\dfrac{5}{2}+\dfrac{2}{x-2}(x<2)$上一点，其与原点连线的斜率为${{k}_{1}}=\dfrac{\frac{5}{2}+\frac{2}{x-2}}{x}$，点$P(x,y)$处的切线斜率为$k_2=-\dfrac{2}{(x-2)^2}$，当${{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1$时，$P$到原点的距离最小．从而有

$$\frac{\frac{5}{2}+\frac{2}{x-2}}{x}\cdot \frac{2}{{{(x-2)}^{2}}}=1,$$

令$t=x-2<0$得：

$$\frac{5+\frac{4}{t}}{t+2}\cdot \frac{1}{{{t}^{2}}}=1,$$ 即 $${{t}^{4}}+2{{t}^{3}}-5t-4=0,$$ 由引理知$t=-1$，$x=t+2=1$，$y=\dfrac{5}{2}+\dfrac{2}{x-2}=\dfrac{1}{2}$．

故$P$到原点的最小距离为$\sqrt{1+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$，其平方为$\dfrac{5}{4}$．

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引理的证明　显然$t=-1$是方程的根，于是我们可以因式分解得：

$$(t+1)({{t}^{3}}+{{t}^{2}}-t-4)=0.$$ 只需证明$f(t)={{t}^{3}}+{{t}^{2}}-t-4(t<0)$没有零点．

对$f(t)$求导得

$$f'(t)=3{{t}^{2}}+2t-1=(t+1)(3t-1),$$ 所以$f(t)$在$(-\infty ,-1)$上单调递增，在$\left(-1,\dfrac{1}{3}\right )$上单调递减．

故$f(t)$在$\left(-\infty ,\dfrac{1}{3}\right )$上的极大值为$f(-1)=-3$．引理得证．