每日一题[355]代数与几何结合解决整点问题

在平面直角坐标系中,如果\(x\)和\(y\)都是整数,就称点 \((x,y)\) 是整点,下列命题中正确的是_____(写出所有正确命题的编号).

①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;

②如果 \(k\) 与 \(b\) 都是无理数,则直线 \(y=kx+b\) 不经过任何整点;

③直线 \(l\) 经过无穷多个整点,当且仅当 \(l\) 经过两个不同的整点;

④直线 \(y=kx+b\) 经过无穷多个整点的充分必要条件是:\(k\) 与 \(b\) 都是有理数;

⑤存在恰经过一个整点的直线.


正确答案是①③⑤.

分析    这道题是整点问题,画出平面直角坐标系中的整点,从几何与代数两方面去考虑这几个结论的正确性.对于不成立的结论,只要举出反例即可,对于成立的结论则需要给出证明.

    考虑①,画出原点附近的整点,如图的直线既不与坐标轴平行,又不经过任何整点,比如直线$y=x+\dfrac 12$,这样的直线有无穷多条,①成立;

屏幕快照 2016-01-06 下午3.09.52

考虑②,$k$为斜率,$b$为纵截距,在$y$轴上任取一个纵坐标为无理数的点,考虑这个点与任何一个整点(不在$y$轴上)的连线,则该直线的斜率一定为无理数,但这条直线上有且仅有一个整点.例如过$(0,\sqrt 2)$与$(1,0)$的直线\[y=\sqrt 2(1-x),\]故②不正确,⑤正确,对于⑤也可以考虑过任意一个整点,且斜率为无理数的直线,这条直线上一定没有其它整点,否则两个整点的连线对应的斜率必为有理数,故⑤正确;

考虑③,当直线\(l\) 经过两个不同的整点$A,B$时,点$A$关于点$B$的对称点,以及点$B$关于点$A$的对称点一定都是整点,且在直线\(l\)上,类似这样的对称可以一直进行下去,所以 \(l\)一定经过无穷多个整点.反之显然,故③成立.

考虑④,当$y=kx+b$经过无穷多个整点时,由斜率公式知$k$为有理数,从而$b=y-kx$为有理数;反之,$k,b$都是有理数时,可以不经过任何整点,如①中的例子$y=x+\dfrac 12$,故④错误.

事实上,对于直线$y=kx+b$上的整点个数,我们可以得到下面的结论:

$k$ $b$ 整点个数
有理数 有理数 0个或无穷多个
有理数 无理数 0个
无理数 有理数 0个或1个
无理数 无理数 0个或1个
weilew

关于weilew

认真工作,开心学习。
此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[355]代数与几何结合解决整点问题》有 2 条评论

  1. Seeker说:

    老师这道题标答对3的解释是 若整点(m.n)(s.t)在直线上则对任意整数k都有整点(m+ks.n+kt)在直线上。这样是对您对称点解释的另一种形式吗?或者另有其原因,亦或是他解释有误?

  2. 朱飞说:

    希望多点曲线系解决圆曲的贴

发表评论