每日一题[56] 向量问题的图解法

今天的题目是2012年安徽高考数学理科卷的填空题．

若\(\left|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|\leqslant 3\)，则\(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b\)的最小值是_______．

 正确的答案是\(-\dfrac 98\)．

原问题等价于

若\(\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|\leqslant 3\)，求\(\dfrac 12\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b\)的最小值．

如图，设\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a\)，\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow b\)，那么\[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow b - \overrightarrow a.\]根据题意，\(\overrightarrow{AB}\)的长度不超过\(3\)，于是\(B\)的可行域为以\(A\)为圆心、\(3\)为半径的圆的内部（包含边界）．

根据数量积的几何意义，使得\(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\)取最小值的\(B\)位置为圆内（包括边界）的点在直线\(OA\)上的投影最靠左的位置．此时可得\[\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=OA\cdot\left(OA-3\right)\geqslant -\dfrac 94,\]等号当且仅当\(OA=\dfrac 32\)时取得，此时对应的向量如下图所示．

下面给出一道练习题：

已知\(\vec a\)，\(\vec b\)满足\(\left|\vec a\right|=5\)，\(\left|\vec b\right|\leqslant 1\)，且\(\left|\vec a-4\vec b\right|\leqslant \sqrt{21}\)，则\(\vec a\cdot \vec b\)的最小值是_______．

参考答案    \(\dfrac{25-5\sqrt{21}}{4}\)．

提示    \(B\)的可行域为两个圆及其内部的公共部分．