每日一题[322]三点共线

已知\(F_1,F_2\)是椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)的焦点，直线\(PQ\)过\(F_1\)且交椭圆于\(P\)、\(Q\)两点．若\(PF_1=F_1F_2\)，且\(2PF_1=3QF_1\)，求椭圆的离心率．

正确答案是$\dfrac {\sqrt{41}-4}{5}$．

解　不妨设\(F_1F_2=2c=6\)，则\(PF_1=F_1F_2=6\)，\(PF_2=2a-PF_1=2a-6\),\(QF_1=\dfrac 23 PF_1=4\)，\(QF_2=2a-QF_1=2a-4\)．

由于\(\angle PF_1F_2\)与\(\angle QF_1F_2\)互补，所以\[\cos \angle PF_1F_2+\cos \angle QF_1F_2=0,\]即\[\dfrac{36+36-(2a-6)^2}{2\times 6\times 6}+\dfrac{16+36-(2a-4)^2}{2\times 4\times 6}=0.\]化简得\[5a^2-24a-45=0,\]解得\[a=\dfrac{12+3\sqrt{41}}5.\]所以\[e=\dfrac ca=\dfrac{15}{12+3\sqrt{41}}=\dfrac{\sqrt{41}-4}{5}.\]

本题解题的关键是如何处理条件直线$PQ$过点$F_1$，即$P,F_1,Q$三点共线．因为本题已经用一个未知数表示出两个三角形的各条边的长度，所以表达三点共线转化成两个三角形中有一个内角互补，从而利用余弦定理得到了等式．

注　本题中因为$a,b,c$成比例放大或缩小不影响题中的线段长度的比例关系，也不影响离心率，所以可以取$c=3$，简化运算．