2014年浙江填空压轴题

如图，某人在垂直于水平地面$ABC$的墙面前的点$A$处进行射击训练．已知点$A$到墙面的距离为$AB$，某目标点$P$沿墙面上的射线$CM$移动，此人为了准确瞄准目标点$P$，需计算由点$A$观察点$P$的仰角$\theta$的大小．若$AB=15 {\rm cm}$，$AC=25{\rm cm}$，$\angle BCM=30^\circ$，则$\tan \theta$的最大值是 _________ ．（仰角$\theta$为直线$AP$与平面$ABC$所成角）

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• 常规解法：

不改变问题的本质，不妨设$AB=3$，$BC=4$，$AC=5$．过$P$作$BC$的垂线，垂足设为$H$，设$PH=x$，则

$$CH=\sqrt 3x,BH=|4-\sqrt3x|,AH=\sqrt{9+(4-\sqrt 3x)^2}.$$

于是

$$\tan^2\angle PAH=\dfrac {x^2}{25+3x^2-8\sqrt 3 x}\leqslant \dfrac {25}{27}.$$

因此$\tan\angle PAH$的最大值为$\dfrac 59\sqrt 3$．

• 改进：

$$\tan\angle PAH=\dfrac {PH}{AH}=\dfrac {CH}{\sqrt 3AH}=\dfrac 1{\sqrt3}\cdot \dfrac {\sin\angle HAC}{\sin\angle HCA}\leqslant \dfrac 1{\sqrt 3}\cdot \dfrac 1{\dfrac {15}{25}}=\dfrac 59\sqrt 3.$$

• 其他解法（李广明提供）：

如图，所求最大值即平面$MAC$与地面所成二面角的大小．