2014年浙江填空压轴题

如图，某人在垂直于水平地面\(ABC\)的墙面前的点\(A\)处进行射击训练．已知点\(A\)到墙面的距离为\(AB\)，某目标点\(P\)沿墙面上的射线\(CM\)移动，此人为了准确瞄准目标点\(P\)，需计算由点\(A\)观察点\(P\)的仰角\(\theta\)的大小．若\(AB=15 {\rm cm}\)，\(AC=25{\rm cm}\)，\(\angle BCM=30^\circ\)，则\(\tan \theta\)的最大值是 _________ ．（仰角\(\theta\)为直线\(AP\)与平面\(ABC\)所成角）

• 常规解法：

不改变问题的本质，不妨设\(AB=3\)，\(BC=4\)，\(AC=5\)．过\(P\)作\(BC\)的垂线，垂足设为\(H\)，设\(PH=x\)，则

\[CH=\sqrt 3x,BH=|4-\sqrt3x|,AH=\sqrt{9+(4-\sqrt 3x)^2}.\]

于是

\[\tan^2\angle PAH=\dfrac {x^2}{25+3x^2-8\sqrt 3 x}\leqslant \dfrac {25}{27}.\]

因此\(\tan\angle PAH\)的最大值为\(\dfrac 59\sqrt 3\)．

• 改进：

\[\tan\angle PAH=\dfrac {PH}{AH}=\dfrac {CH}{\sqrt 3AH}=\dfrac 1{\sqrt3}\cdot \dfrac {\sin\angle HAC}{\sin\angle HCA}\leqslant \dfrac 1{\sqrt 3}\cdot \dfrac 1{\dfrac {15}{25}}=\dfrac 59\sqrt 3.\]

• 其他解法（李广明提供）：

如图，所求最大值即平面\(MAC\)与地面所成二面角的大小．