2014年湖北卷理科第9题

已知 $F_1$，$F_2$ 是椭圆和双曲线的公共焦点，$P$ 是它们的一个公共点，且 $\angle F_1PF_2=\dfrac{\pi}{3}$，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（$\qquad$）

A．$\dfrac{4\sqrt3}{3}$  

B．$\dfrac{2\sqrt3}{3}$

C．$3$  

D．$2$

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解    法一    设椭圆的基本量为 $a_1$，$c$，离心率为 $e_1$；双曲线的基本量为 $a_2$，$c$，离心率为 $e_2$，则题中所求即为

$$\dfrac{1}{e_1}+\dfrac{1}{e_2}=\dfrac{a_1+a_2}{c}.\cdots\cdots①$$ 不妨设点 $P$ 为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，如图所示． 由椭圆与双曲线的定义，可得 $$\begin{cases}|PF_1|+|PF_2|=2a_1,\\|PF_1|-|PF_2|=2a_2,\end{cases}$$ 两式相加，得 $$a_1+a_2=|PF_1|.\cdots\cdots②$$ 将②式代入①式，得 $$\dfrac{1}{e_1}+\dfrac{1}{e_2}=\dfrac{|PF_1|}{c}=2\cdot \dfrac{|PF_1|}{|F_1F_2|}.$$ 在 $\triangle PF_1F_2$ 中，我们运用正弦定理，得 $$\dfrac{|PF_1|}{|F_1F_2|}=\dfrac{\sin\angle PF_2F_1}{\sin\angle F_1PF_2}=\dfrac{2}{\sqrt3}\cdot \sin\angle PF_2F_1.$$ 由此，不难得出，当 $\angle PF_2F_1=\dfrac{\mathrm\pi}{2}$ ，可解得 $e_1=\dfrac{\sqrt3}{3}$，$e_2=\sqrt3$ 时，题目所求取得最大值为 $\dfrac{4\sqrt3}{3}$，选项 A 正确．  

法二    不妨假设椭圆与双曲线的公共焦点 $c=1$，$|PF_1|=m$，$|PF_2|=n$，则由法一可知，

$$\dfrac{1}{e_1}+\dfrac{1}{e_2}=a_1+a_2=m.$$ 在三角形 $PF_1F_2$ 中，有余弦定理 $$|F_1F_2|^2=|PF_1|^2+|PF_2|^2-2|PF_1||PF_2|\cos\angle F_1PF_2,$$ 即 $$4=m^2+n^2-mn,$$ 将上式中 $n$ 看成主元，$m$ 看成参数，整理为二次方程 $$n^2-mn+(m^2-4)=0,$$ 因此，上述方程有解，需判别式大于等于零，即 $$\Delta=m^2-4(m^2-4)\geqslant0,$$ 解得 $m\leqslant\dfrac{4\sqrt3}{3}$，当 $m=\dfrac{4\sqrt3}{3}$ 时， $n=\dfrac{2\sqrt3}{3}$，$e_1=\dfrac{\sqrt3}{3}$，$e_2=\sqrt3$，选项 A 正确．