练习题集[35]基础练习

1、设$a,b,c\in\mathcal R^+$，且$ab+bc+ca=1$，证明下列不等式：

（1）$\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\geqslant 3\sqrt 3$；

（2）$abc(a+b+c)\leqslant \dfrac 13$．

2、坐标平面上直线$l$过点$P(2,1)$且与分别$x$、$y$轴的正半轴交于点$A,B$，求线段$AB$长度的最小值及此时的直线方程．

3、若$a_1=1$，且数列$\{a_n\}$单调递增，对任意$n\in\mathcal N^*$均有$4a_na_{n+1}=\left(a_n+a_{n+1}-1\right)^2$，则$\{a_n\}$的通项公式为_______．

4、已知$x,y>0$，$x+y=1$，则$\dfrac{1}{2x}+\dfrac{x}{y+1}$的最小值为_______．

5、已知$\mathcal{R}$上的奇函数$f(x)$满足$f'(x)>-2$，则不等式$f(x-1)<x^2\left(3-2\ln x \right) +3(1-2x)$的解集是_______．

6、已知正四棱锥$P-ABCD$的底面边长为$4$，侧棱长为$2\sqrt 3$，以$P$为球心，$2$为半径作球，则球体与正四棱锥的公共部分的体积为_______．

7、若不等式$ax^2+x|x+1|\geqslant -2x-1$恒成立，则实数$a$的最小值为____．

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参考答案

1、（1）证明    欲证明不等式即

$$\dfrac{bc+ca+ab}{abc}\geqslant 3\sqrt 3,$$ 也即 $$3\sqrt 3\cdot abc \leqslant 1,$$ 而事实上，根据已知有 $$1=ab+bc+ca \geqslant 3\left(ab\cdot bc\cdot ca\right)^{\frac 13},$$ 于是 $$abc \leqslant \left(\dfrac 13\right)^{\frac 32},$$ 因此原不等式得证．

（2）证明    欲证明不等式即

$$3(a+b+c) \leqslant  \dfrac{1}{abc},$$ 即 $$3(a+b+c)\leqslant \dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c.$$ 由于 $$\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\right)\cdot \left(ab+bc+ca\right)=2(a+b+c)+\dfrac{bc}a+\dfrac{ca}b+\dfrac{ab}c,$$ 于是只需要证明 $$a+b+c \leqslant \dfrac{bc}a+\dfrac{ca}b+\dfrac{ab}c.$$ 事实上， $$\dfrac{\frac{bc}a+\frac{ca}b}2\geqslant c,$$ 类似的，有 $$\dfrac{\frac{ca}b+\frac{ab}c}2\geqslant a,\dfrac{\frac{ab}c+\frac{bc}a}2\geqslant b,$$ 三式相加即得．因此原不等式得证．

注　也可以用三元均值不等式直接证明$3(a+b+c)\leqslant \dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c$．

2、$AB$的最小值为

$$\sqrt{5+6\cdot 2^{\frac 13}+3\cdot 2^{\frac 23}},$$ 此时直线$l$的方程为 $$\dfrac{x}{2+2^{\frac 13}}+\dfrac{y}{2^{\frac 23}+1}=1.$$

提示　设直线$l:\dfrac xa+\dfrac yb=1$，则

$$\dfrac 2a+\dfrac 1b=1,$$ 且 $$\begin{split} |AB|^2&=|OA|^2+|OB|^2\\&=a^2+b^2\\&=\left(a^2+b^2\right)\left(\dfrac 2a+\dfrac 1b\right)^2\\&=\dfrac {4b}a+\dfrac{4b^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{4a}b+5,\end{split}$$ 设$\dfrac ba=x$，则 $$\begin{split} |AB|^2=4x^2+4x+\dfrac 4x+\dfrac{1}{x^2}+5,\end{split}$$ 记右侧为函数$f(x)$，则 $$f'(x)=\dfrac{2}{x^3}\cdot\left(2x^3-1\right)\cdot (2x+1),$$ 于是当$x=2^{-\frac 13}$时函数取得最小值为 $$f\left(2^{-\frac 13}\right)=5+6\cdot 2^{\frac 13}+3\cdot 2^{\frac 23}.$$ 因此$AB$的最小值为 $$\sqrt{5+6\cdot 2^{\frac 13}+3\cdot 2^{\frac 23}},$$ 此时直线$l$的方程为 $$\dfrac{x}{2+2^{\frac 13}}+\dfrac{y}{2^{\frac 23}+1}=1.$$  

3、$a_n=n^2,n\in\mathcal N^*$．

提示　根据条件有

$$2\sqrt{a_na_{n+1}}=a_n+a_{n+1}-1,$$ 从而得到 $$\sqrt{a_{n+1}}=\sqrt{a_n}+1,$$ 解得 $$a_n=n^2.$$

4、$\dfrac 54$ ．

提示　将$y=1-x,x\in(0,1)$代入所求代数式得到

$$\dfrac {1}{2x}+\dfrac {x}{2-x}=-1-\dfrac 32\cdot\dfrac {x+\frac 23}{x^2-2x}.$$ 令$t=x+\dfrac 23\in\left(\dfrac 23,\dfrac 53\right )$，由均值不等式可得 $$\dfrac {1}{2x}+\dfrac {x}{y+1}\geqslant \dfrac 54,$$ 当且仅当$t=\dfrac 43$，即$x=\dfrac 23$时取到等号．

5、$(0,1)$．

提示　令$g(x)=f(x)+2x$，则函数$g(x)$为$\mathcal R$上的单调递增函数，且$g(0)=0$． 根据题意，不等式即

$$f(x-1)+2(x-1)<3x^2-4x+1-2x^2\ln x,$$ 即 $$g(x-1)<x^2\cdot \left(3-\dfrac 4x+\dfrac 1{x^2}-2\ln x\right).$$ 令 $$h(x)=3-\dfrac 4x+\dfrac 1{x^2}-2\ln x,$$ 则$h(x)$的导函数 $$h'(x)=-\dfrac{2(x-1)^2}{x^3}\leqslant 0,$$ 于是$h(x)$单调递减，又注意到$h(1)=0$，于是 当$0<x<1$时，$g(x-1)<0<x^2\cdot h(x)$； 当$x \geqslant 1$时，$x^2\cdot h(x)\leqslant 0\leqslant g(x-1)$． 综上，所求的解集为$(0,1)$．

6、$\dfrac{16\pi}9$．

提示　以正方形$ABCD$为底面，$P$为中心作正方体，可知公共部分的体积为球体体积的$\dfrac 16$，如图． 7、$\dfrac 54$．

提示　题中条件即

$$\forall x\in \mathcal{R},ax^2\geqslant -x|x+1|-2x-1.$$ 又因为$x=0$时，此不等式成立，所以题目条件等价于 $$a\geqslant -t^2-2t-|t+1|,$$ 其中$t=\dfrac 1x$，而 $$RHS=-|t+1|^2-|t+1|+1,$$ 最大值为$1$，因此$a$的最小值为$1$．