每日一题[48] 再论向量题的两面性

2013年高考重庆卷理科数学第10题（选择压轴题）：

在平面上，$\overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{AB_2}=0$，$\left|\overrightarrow{OB_1}\right|=\left|\overrightarrow{OB_2}\right|=1$，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{AB_2}$，若$\left|\overrightarrow{OP}\right|<\dfrac 12$，则$\left|\overrightarrow{OA}\right|$的取值范围是________．

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正确答案是$\left(\dfrac{\sqrt 7}2,\sqrt 2\right]$．

法一    几何法

设线段$AP$的中点为$M$，则$M$为矩形$AB_1PB_2$的中心．

在三角形$OAP$中，由平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，有

$$AP^2+(2OM)^2=2\left(OA^2+OP^2\right),$$ 从而 $$\begin{split}OA^2+OP^2&=2\left(AM^2+OM^2\right)\\&=2\left(B_1M^2+OM^2\right)\\&=2OB_1^2\\&=2,\end{split}$$ 又$0\leqslant OP^2<\dfrac 14$，于是$OA$的取值范围是$\left(\dfrac{\sqrt 7}2,\sqrt 2\right]$．

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法二    代数法

分别记$\overrightarrow{OB_1}$、$\overrightarrow{OB_2}$、$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OP}$分别为$\vec x$、$\vec y$、$\vec a$、$\vec p$，则根据题意

条件$\overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{AB_2}$转化为

$$\left(\vec x-\vec a\right)\cdot\left(\vec y-\vec a\right)=0,$$ 即 $$\vec x\cdot\vec y-\vec x\cdot\vec a-\vec y\cdot\vec a=-\vec a\cdot\vec a,\qquad\cdots (1)$$

条件$\left|\overrightarrow{OB_1}\right|=\left|\overrightarrow{OB_2}\right|=1$转化为

$$\vec x\cdot\vec x=\vec y\cdot\vec y=1,\qquad\cdots (2)$$

条件$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{AB_2}$转化为

$$\vec p-\vec a=\vec x-\vec a+\vec y-\vec a,$$ 即 $$\vec p=\vec x+\vec y-\vec a,\qquad\cdots (3)$$

条件$\left|\overrightarrow{OP}\right|<\dfrac 12$转化为

$$0\leqslant\vec p\cdot\vec p<\frac 14,$$ 将(3)代入，有 $$0\leqslant\vec x\cdot\vec x+\vec y\cdot\vec y+\vec a\cdot\vec a+2\left(\vec x\cdot\vec y-\vec x\cdot\vec a-\vec y\cdot\vec a\right)<\frac 14,$$ 再将(1)(2)代入，有 $$0\leqslant 2-\vec a\cdot\vec a<\frac 14,$$ 从而易得$\left|\vec a\right|$的取值范围是$\left(\dfrac{\sqrt 7}2,\sqrt 2\right]$．