2014年中国科学技术大学入学考试数学试题

注    以下试题均为学生回忆的试题，不能保证真实性和正确性．欢迎读者给出解答，谢谢！

1、函数$y=\cos\left(\pi x\right),x\in (2013,2014]$的反函数为_______．

2、如图为某空间几何体的展开图，则该空间几何体共有_______条棱．

3、除$x=1$外，圆$x^2+y^2=1$与圆$(x-2)^2+(y-3)^2=1$的另一条公切线方程为_______．

4、散点$(1.0,0.9)$，$(2.0,1.9)$，$(3.0,3.2)$对应的回归直线方程为_______．

5、$y=\sin\left(\omega x+\varphi\right)$与$y=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$的图象关于$x=-1$对称，则所有可能的$\varphi=$_______．

6、向量$(1,2)$绕点$(1,1)$顺时针旋转$45^\circ$后所得的向量为_______．

7、$\left|2x-y\right|+\left|x-2y\right|\leqslant 3$所表示的平面区域面积为_______．

8、离散型随机变量$X$满足：$E(X)=1$，$D(X)=2$，则$E\left(X^2\right)=$_______．

9、圆$C:x^2+y^2-2x-2y+1=0$内位于直线$l:y=x\tan\theta$下方的面积为$S$，其中$\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$．

（1）求$S(\theta)$的表达式；

（2）求函数$S(\theta)$与函数$S'(\theta)$的单调性；

（3）画出$S(\theta)$的草图．

10、证明椭圆的光学性质．

11、已知甲袋中装有$5$个红球，乙袋中装有$5$个白球．每次从甲、乙两袋中分别随机摸一个球，同时放入对方袋中．$n$次操作后，甲袋中红球的个数记为$X$．求$X$的分布列和数学期望．