2015年复旦大学基地班入校考试题（回忆版）

注    以下试题均为学生回忆的试题，不能保证其真实性和正确性．欢迎读者给出解答，谢谢！

1、已知$f(x)=2005\left(x-\dfrac 12\right)^3+x$．求$\sum\limits_{k=1}^{2015}{f\left(\dfrac{k}{2015}\right)}$．

2、已知正数数列$\left\{a_n\right\}$满足$(n+1)a_{n+1}=na_n+\dfrac{1}{a_n}$．

（1）证明：当$n\geqslant 2$时，$a_n\geqslant 1$．

（2）证明：数列$\left\{a_n\right\}$收敛．

3、已知椭圆$C_1:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1$，$F(2,0)$．圆$C_2:x^2+y^2=5$．$M\left(x_0,y_0\right)$在圆上，且$x_0>0$，$y_0>0$．过$M$点引圆的切线交椭圆于$P$、$Q$两点．证明：三角形$PQF$的周长为定值．

4、如图，把边长为$4$的正三角形的三个角（均为边长为$2$的正三角形）折上去使其垂直于底面，变成一个球托．把半径为$\dfrac{\sqrt 6}3$的球放进去，求圆心到底面的距离．