2014年卓越联盟自主招生试题

一、选择题(原题为选择题)

1、不等式|x|32x2+1<0的解集为_______.

2、在三棱锥PABC中,PAABCACBCAC=2,二面角PBCA的大小为60,三棱锥PABC的体积为463,则直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为_______.

3、当实数m变化时,不在任何直线2mx+(1m2)y4m4=0上的所有点(x,y)形成的图形的面积为_______.

4、已知函数f(x)={2x+1x2,x<12,ln(x+1),x12,函数g(x)=x24x4.设b为实数,若存在实数a,使f(a)+g(b)=0,则b的取值范围是_______.

二、填空题

5、已知0<a<1,分别在区间(0,a)(0,4a)内任取一个数,且取出的两数之和小于1的概率为316,则a的值为_______.

6、设e1,e2为平面上夹角为θ(0<θπ2)的两个单位向量,O为平面上任意一点,当OP=xe1+ye2时,定义(x,y)为点P的斜坐标.现有两个点AB的斜坐标分别为(x1,y1)(x2,y2),则AB两点的距离为_______.

7、若函数y=sin(ωx+π4)的图象的对称轴中与y轴距离最小的对称轴为x=π6,则实数ω的值为_______.

8、已知集合AB满足AB={1,2,3,,8}AB=.若A中元素的个数不是A中的元素,B中元素的个数不是B中的元素,则满足条件的所有不同的集合A的个数为_______.

三、解答题

9、设αR,函数f(x)=2sin2xcosα+2cos2xsinα2cos(2x+α)+cosα,xR

(1)若α[π4,π2],求f(x)在区间[0,π4]上的最大值;

(2)若f(x)=3,求αx的值.

10、已知双曲线x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线的斜率之积为3,左右两支分别有动点AB

(1)设直线AB的斜率为1,经过点D(0,5a),且AD=λDB,求实数λ的值;

(2)设点A关于x轴的对称点为M,若直线ABMB分别与x轴相交于点PQO为坐标原点,证明:OPOQ=a2

11、已知f(x)R上的可导函数,对任意的x0R,有0<f(x+x0)f(x0)<4xx>0

(1)对任意的x0R,证明:f(x0)<f(x+x0)f(x0)xx>0

(2)若|f(x)|1xR,证明:|f(x)|4xR

12、已知实数列{an}满足|a1|=1|an+1|=q|an|nN,常数q>1.对任意的nN,有n+1k=1|ak|4|an|.设C为所有满足上述条件的数列{an}的集合.

(1)求q的值;

(2)设{an},{bn}CmN,且存在n0m,使an0bn0.证明:mk=1akmk=1bk

(3)设集合Am={mk=1ak|{an}C}mN,求Am中所有正数之和.


参考答案

1、(1+52,1)(1,1+52)

2、33

3、4π

4、[1,5]

5、45

6、(x1x2)2+(y1y2)2+2(x1x2)(y1y2)cosθ

7、32

8、44

9、(1)2+cosα;(2)α=2kπ,kZx=nπ+3π8,nZ

10、(1)λ=27;(2)略.

11、提示    (1)构造函数g(x)=f(x+x0)f(x0)f(x0)x

(2)用反证法.若存在f(u)>4,则|f(x)f(u)|>4(xu),令x=u+1可得矛盾.类似可从f(u)<4推出矛盾.

注    已知条件有矛盾之处:根据条件知f(x)R上的单调递增函数,于是f(x)不可能恒为0,假设f(x0)=tt0.当t>0时,对任意x>0f(x+x0)f(x0)>tx,于是f(x)显然不可能有界;同理当t<0时,亦有f(x)不可能有界.

12、(1)q=2;(2)略;(3)22m2

提示    (2)假设l1,2,3,,m中满足anbn的最小角标,则mk=1akmk=1bkal+1bl+1+(albl)±2l±2l±2l(mod2l+1).

(3)显然{an}的前m项和为正数,当且仅当am>0,此时ai(i=1,2,,m1)的符号随意.这样的数列共有2m1个.配对求和可得Am中所有元素之和为2m12m1=22m2

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