一、选择题(原题为选择题)
1、不等式|x|3−2x2+1<0的解集为_______.
2、在三棱锥P−ABC中,PA⊥ABC,AC⊥BC,AC=2,二面角P−BC−A的大小为60∘,三棱锥P−ABC的体积为4√63,则直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为_______.
3、当实数m变化时,不在任何直线2mx+(1−m2)y−4m−4=0上的所有点(x,y)形成的图形的面积为_______.
4、已知函数f(x)={2x+1x2,x<−12,ln(x+1),x⩾−12,函数g(x)=x2−4x−4.设b为实数,若存在实数a,使f(a)+g(b)=0,则b的取值范围是_______.
二、填空题
5、已知0<a<1,分别在区间(0,a)和(0,4−a)内任取一个数,且取出的两数之和小于1的概率为316,则a的值为_______.
6、设→e1,→e2为平面上夹角为θ(0<θ⩽π2)的两个单位向量,O为平面上任意一点,当→OP=x→e1+y→e2时,定义(x,y)为点P的斜坐标.现有两个点A,B的斜坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则A、B两点的距离为_______.
7、若函数y=sin(ωx+π4)的图象的对称轴中与y轴距离最小的对称轴为x=π6,则实数ω的值为_______.
8、已知集合A、B满足A∪B={1,2,3,⋯,8},A∩B=∅.若A中元素的个数不是A中的元素,B中元素的个数不是B中的元素,则满足条件的所有不同的集合A的个数为_______.
三、解答题
9、设α∈R,函数f(x)=√2sin2xcosα+√2cos2xsinα−√2cos(2x+α)+cosα,x∈R.
(1)若α∈[π4,π2],求f(x)在区间[0,π4]上的最大值;
(2)若f(x)=3,求α与x的值.
10、已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线的斜率之积为−3,左右两支分别有动点A和B.
(1)设直线AB的斜率为1,经过点D(0,5a),且→AD=λ→DB,求实数λ的值;
(2)设点A关于x轴的对称点为M,若直线AB、MB分别与x轴相交于点P、Q,O为坐标原点,证明:OP⋅OQ=a2.
11、已知f(x)为R上的可导函数,对任意的x0∈R,有0<f′(x+x0)−f′(x0)<4x,x>0.
(1)对任意的x0∈R,证明:f′(x0)<f(x+x0)−f(x0)x,x>0;
(2)若|f(x)|⩽1,x∈R,证明:|f′(x)|⩽4,x∈R.
12、已知实数列{an}满足|a1|=1,|an+1|=q|an|,n∈N∗,常数q>1.对任意的n∈N∗,有n+1∑k=1|ak|⩽4|an|.设C为所有满足上述条件的数列{an}的集合.
(1)求q的值;
(2)设{an},{bn}∈C,m∈N∗,且存在n0⩽m,使an0≠bn0.证明:m∑k=1ak≠m∑k=1bk;
(3)设集合Am={m∑k=1ak|{an}∈C},m∈N∗,求Am中所有正数之和.
参考答案
1、(−1+√52,−1)∪(1,1+√52)
2、√33
3、4π
4、[−1,5]
5、45
6、√(x1−x2)2+(y1−y2)2+2(x1−x2)(y1−y2)cosθ
7、32
8、44
9、(1)2+cosα;(2)α=2kπ,k∈Z;x=nπ+3π8,n∈Z.
10、(1)λ=27;(2)略.
11、提示 (1)构造函数g(x)=f(x+x0)−f(x0)−f′(x0)x.
(2)用反证法.若存在f′(u)>4,则|f(x)−f(u)|>4(x−u),令x=u+1可得矛盾.类似可从f′(u)<−4推出矛盾.
注 已知条件有矛盾之处:根据条件知f′(x)为R上的单调递增函数,于是f′(x)不可能恒为0,假设f′(x0)=t,t≠0.当t>0时,对任意x>0有f(x+x0)−f(x0)>tx,于是f(x)显然不可能有界;同理当t<0时,亦有f(x)不可能有界.
12、(1)q=2;(2)略;(3)22m−2.
提示 (2)假设l是1,2,3,⋯,m中满足an≠bn的最小角标,则m∑k=1ak−m∑k=1bk≡al+1−bl+1+(al−bl)≡±2l±2l±2l(mod2l+1).
(3)显然{an}的前m项和为正数,当且仅当am>0,此时ai(i=1,2,⋯,m−1)的符号随意.这样的数列共有2m−1个.配对求和可得Am中所有元素之和为2m−1⋅2m−1=22m−2.