一、选择题（原题为选择题）
1、不等式\(\left|x\right|^3-2x^2+1<0\)的解集为_______．
2、在三棱锥\(P-ABC\)中，\(PA\perp ABC\)，\(AC\perp BC\)，\(AC=2\)，二面角\(P-BC-A\)的大小为\(60^\circ\)，三棱锥\(P-ABC\)的体积为\(\dfrac{4\sqrt 6}3\)，则直线\(PB\)与平面\(PAC\)所成的角的正弦值为_______．
3、当实数\(m\)变化时，不在任何直线\(2mx+\left(1-m^2\right)y-4m-4=0\)上的所有点\((x,y)\)形成的图形的面积为_______．
4、已知函数\(f(x)=\begin{cases}\dfrac{2x+1}{x^2},&x<-\dfrac 12,\\\ln\left(x+1\right),&x\geqslant -\dfrac 12,\end{cases}\)函数\(g(x)=x^2-4x-4\)．设\(b\)为实数，若存在实数\(a\)，使\(f(a)+g(b)=0\)，则\(b\)的取值范围是_______．
二、填空题
5、已知\(0<a<1\)，分别在区间\((0,a)\)和\((0,4-a)\)内任取一个数，且取出的两数之和小于\(1\)的概率为\(\dfrac 3{16}\)，则\(a\)的值为_______．
6、设\(\overrightarrow {e_1},\overrightarrow {e_2}\)为平面上夹角为\(\theta(0<\theta\leqslant \dfrac{\pi}{2})\)的两个单位向量，\(O\)为平面上任意一点，当\(\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow {e_1}+y\overrightarrow {e_2}\)时，定义\((x,y)\)为点\(P\)的斜坐标．现有两个点\(A\)，\(B\)的斜坐标分别为\((x_1,y_1)\)，\((x_2,y_2)\)，则\(A\)、\(B\)两点的距离为_______．
7、若函数\(y=\sin\left(\omega x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)的图象的对称轴中与\(y\)轴距离最小的对称轴为\(x=\dfrac{\pi}6\)，则实数\(\omega\)的值为_______．
8、已知集合\(A\)、\(B\)满足\(A\cup B=\left\{1,2,3,\cdots,8\right\}\)，\(A\cap B=\varnothing\)．若\(A\)中元素的个数不是\(A\)中的元素，\(B\)中元素的个数不是\(B\)中的元素，则满足条件的所有不同的集合\(A\)的个数为_______．
三、解答题
9、设\(\alpha\in\mathcal R\)，函数\(f(x)=\sqrt 2\sin{2x}\cos{\alpha}+\sqrt 2\cos{2x}\sin{\alpha}-\sqrt 2\cos\left(2x+\alpha\right)+\cos\alpha,x\in\mathcal R\)．
（1）若\(\alpha\in\left[\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right]\)，求\(f(x)\)在区间\(\left[0,\dfrac{\pi}4\right]\)上的最大值；
（2）若\(f(x)=3\)，求\(\alpha\)与\(x\)的值．
10、已知双曲线\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的两条渐近线的斜率之积为\(-3\)，左右两支分别有动点\(A\)和\(B\)．
（1）设直线\(AB\)的斜率为\(1\)，经过点\(D(0,5a)\)，且\(\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{DB}\)，求实数\(\lambda\)的值；
（2）设点\(A\)关于\(x\)轴的对称点为\(M\)，若直线\(AB\)、\(MB\)分别与\(x\)轴相交于点\(P\)、\(Q\)，\(O\)为坐标原点，证明：\(OP\cdot OQ=a^2\)．
11、已知\(f(x)\)为\(\mathcal R\)上的可导函数，对任意的\(x_0\in\mathcal R\)，有\(0<f'\left(x+x_0\right)-f'\left(x_0\right)<4x\)，\(x>0\)．
（1）对任意的\(x_0\in\mathcal R\)，证明：\(f'\left(x_0\right)<\dfrac{f\left(x+x_0\right)-f\left(x_0\right)}{x}\)，\(x>0\)；
（2）若\(\left|f(x)\right|\leqslant 1\)，\(x\in\mathcal R\)，证明：\(\left|f'\left(x\right)\right|\leqslant 4\)，\(x\in\mathcal R\)．
12、已知实数列\(\left\{a_n\right\}\)满足\(\left|a_1\right|=1\)，\(\left|a_{n+1}\right|=q\left|a_n\right|\)，\(n\in\mathcal N^*\)，常数\(q>1\)．对任意的\(n\in\mathcal N^*\)，有\(\sum\limits_{k=1}^{n+1}{\left|a_k\right|}\leqslant 4\left|a_n\right|\)．设\(C\)为所有满足上述条件的数列\(\left\{a_n\right\}\)的集合．
（1）求\(q\)的值；
（2）设\(\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}\in C\)，\(m\in\mathcal N^*\)，且存在\(n_0\leqslant m\)，使\(a_{n_0}\neq b_{n_0}\)．证明：\(\sum\limits_{k=1}^m{a_k}\neq\sum\limits_{k=1}^m{b_k}\)；
（3）设集合\(A_m=\left\{\left.\sum\limits_{k=1}^m{a_k}\right|\left\{a_n\right\}\in C\right\}\)，\(m\in\mathcal N^*\)，求\(A_m\)中所有正数之和．
参考答案
1、\(\left(-\dfrac{1+\sqrt 5}{2},-1\right)\cup\left(1,\dfrac{1+\sqrt 5}2\right)\)
2、\(\dfrac{\sqrt 3}3\)
3、\(4\pi\)
4、\([-1,5]\)
5、\(\dfrac 45\)
6、\(\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2+2\left(x_1-x_2\right)\left(y_1-y_2\right)\cos\theta}\)
7、\(\dfrac 32\)
8、\(44\)
9、（1）\(2+\cos\alpha\)；（2）\(\alpha=2k\pi,k\in\mathcal Z\)；\(x=n\pi+\dfrac{3\pi}{8},n\in\mathcal Z\)．
10、（1）\(\lambda=\dfrac 27\)；（2）略．
11、提示 （1）构造函数\(g(x)=f\left(x+x_0\right)-f\left(x_0\right)-f'\left(x_0\right)x\)．
（2）用反证法．若存在\(f'(u)>4\)，则\(\left|f(x)-f(u)\right|>4(x-u)\)，令\(x=u+1\)可得矛盾．类似可从\(f'(u)<-4\)推出矛盾．
注 已知条件有矛盾之处：根据条件知\(f'(x)\)为\(\mathcal R\)上的单调递增函数，于是\(f'(x)\)不可能恒为\(0\)，假设\(f'\left(x_0\right)=t\)，\(t\neq 0\)．当\(t>0\)时，对任意\(x>0\)有\(f\left(x+x_0\right)-f\left(x_0\right)>tx\)，于是\(f(x)\)显然不可能有界；同理当\(t<0\)时，亦有\(f(x)\)不可能有界．
12、（1）\(q=2\)；（2）略；（3）\(2^{2m-2}\)．
提示 （2）假设\(l\)是\(1,2,3,\cdots,m\)中满足\(a_n\neq b_n\)的最小角标，则\[\sum_{k=1}^{m}a_k-\sum_{k=1}^{m}b_k\equiv a_{l+1}-b_{l+1}+\left(a_l-b_l\right)\equiv \pm 2^l\pm 2^l\pm 2^l\pmod{2^{l+1}}.\]
（3）显然\(\left\{a_n\right\}\)的前\(m\)项和为正数，当且仅当\(a_m>0\)，此时\(a_i(i=1,2,\cdots,m-1)\)的符号随意．这样的数列共有\(2^{m-1}\)个．配对求和可得\(A_m\)中所有元素之和为\(2^{m-1}\cdot 2^{m-1}=2^{2m-2}\)．