2014年卓越联盟自主招生试题

一、选择题（原题为选择题）

1、不等式$\left|x\right|^3-2x^2+1<0$的解集为_______．

2、在三棱锥$P-ABC$中，$PA\perp ABC$，$AC\perp BC$，$AC=2$，二面角$P-BC-A$的大小为$60^\circ$，三棱锥$P-ABC$的体积为$\dfrac{4\sqrt 6}3$，则直线$PB$与平面$PAC$所成的角的正弦值为_______．

3、当实数$m$变化时，不在任何直线$2mx+\left(1-m^2\right)y-4m-4=0$上的所有点$(x,y)$形成的图形的面积为_______．

4、已知函数$f(x)=\begin{cases}\dfrac{2x+1}{x^2},&x<-\dfrac 12,\\\ln\left(x+1\right),&x\geqslant -\dfrac 12,\end{cases}$函数$g(x)=x^2-4x-4$．设$b$为实数，若存在实数$a$，使$f(a)+g(b)=0$，则$b$的取值范围是_______．

二、填空题

5、已知$0<a<1$，分别在区间$(0,a)$和$(0,4-a)$内任取一个数，且取出的两数之和小于$1$的概率为$\dfrac 3{16}$，则$a$的值为_______．

6、设$\overrightarrow {e_1},\overrightarrow {e_2}$为平面上夹角为$\theta(0<\theta\leqslant \dfrac{\pi}{2})$的两个单位向量，$O$为平面上任意一点，当$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow {e_1}+y\overrightarrow {e_2}$时，定义$(x,y)$为点$P$的斜坐标．现有两个点$A$，$B$的斜坐标分别为$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，则$A$、$B$两点的距离为_______．

7、若函数$y=\sin\left(\omega x+\dfrac{\pi}{4}\right)$的图象的对称轴中与$y$轴距离最小的对称轴为$x=\dfrac{\pi}6$，则实数$\omega$的值为_______．

8、已知集合$A$、$B$满足$A\cup B=\left\{1,2,3,\cdots,8\right\}$，$A\cap B=\varnothing$．若$A$中元素的个数不是$A$中的元素，$B$中元素的个数不是$B$中的元素，则满足条件的所有不同的集合$A$的个数为_______．

三、解答题

9、设$\alpha\in\mathcal R$，函数$f(x)=\sqrt 2\sin{2x}\cos{\alpha}+\sqrt 2\cos{2x}\sin{\alpha}-\sqrt 2\cos\left(2x+\alpha\right)+\cos\alpha,x\in\mathcal R$．

（1）若$\alpha\in\left[\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right]$，求$f(x)$在区间$\left[0,\dfrac{\pi}4\right]$上的最大值；

（2）若$f(x)=3$，求$\alpha$与$x$的值．

10、已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的两条渐近线的斜率之积为$-3$，左右两支分别有动点$A$和$B$．

（1）设直线$AB$的斜率为$1$，经过点$D(0,5a)$，且$\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{DB}$，求实数$\lambda$的值；

（2）设点$A$关于$x$轴的对称点为$M$，若直线$AB$、$MB$分别与$x$轴相交于点$P$、$Q$，$O$为坐标原点，证明：$OP\cdot OQ=a^2$．

11、已知$f(x)$为$\mathcal R$上的可导函数，对任意的$x_0\in\mathcal R$，有$0<f'\left(x+x_0\right)-f'\left(x_0\right)<4x$，$x>0$．

（1）对任意的$x_0\in\mathcal R$，证明：$f'\left(x_0\right)<\dfrac{f\left(x+x_0\right)-f\left(x_0\right)}{x}$，$x>0$；

（2）若$\left|f(x)\right|\leqslant 1$，$x\in\mathcal R$，证明：$\left|f'\left(x\right)\right|\leqslant 4$，$x\in\mathcal R$．

12、已知实数列$\left\{a_n\right\}$满足$\left|a_1\right|=1$，$\left|a_{n+1}\right|=q\left|a_n\right|$，$n\in\mathcal N^*$，常数$q>1$．对任意的$n\in\mathcal N^*$，有$\sum\limits_{k=1}^{n+1}{\left|a_k\right|}\leqslant 4\left|a_n\right|$．设$C$为所有满足上述条件的数列$\left\{a_n\right\}$的集合．

（1）求$q$的值；

（2）设$\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}\in C$，$m\in\mathcal N^*$，且存在$n_0\leqslant m$，使$a_{n_0}\neq b_{n_0}$．证明：$\sum\limits_{k=1}^m{a_k}\neq\sum\limits_{k=1}^m{b_k}$；

（3）设集合$A_m=\left\{\left.\sum\limits_{k=1}^m{a_k}\right|\left\{a_n\right\}\in C\right\}$，$m\in\mathcal N^*$，求$A_m$中所有正数之和．

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参考答案

1、$\left(-\dfrac{1+\sqrt 5}{2},-1\right)\cup\left(1,\dfrac{1+\sqrt 5}2\right)$

2、$\dfrac{\sqrt 3}3$

3、$4\pi$

4、$[-1,5]$

5、$\dfrac 45$

6、$\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2+2\left(x_1-x_2\right)\left(y_1-y_2\right)\cos\theta}$

7、$\dfrac 32$

8、$44$

9、（1）$2+\cos\alpha$；（2）$\alpha=2k\pi,k\in\mathcal Z$；$x=n\pi+\dfrac{3\pi}{8},n\in\mathcal Z$．

10、（1）$\lambda=\dfrac 27$；（2）略．

11、提示    （1）构造函数$g(x)=f\left(x+x_0\right)-f\left(x_0\right)-f'\left(x_0\right)x$．

（2）用反证法．若存在$f'(u)>4$，则$\left|f(x)-f(u)\right|>4(x-u)$，令$x=u+1$可得矛盾．类似可从$f'(u)<-4$推出矛盾．

注    已知条件有矛盾之处：根据条件知$f'(x)$为$\mathcal R$上的单调递增函数，于是$f'(x)$不可能恒为$0$，假设$f'\left(x_0\right)=t$，$t\neq 0$．当$t>0$时，对任意$x>0$有$f\left(x+x_0\right)-f\left(x_0\right)>tx$，于是$f(x)$显然不可能有界；同理当$t<0$时，亦有$f(x)$不可能有界．

12、（1）$q=2$；（2）略；（3）$2^{2m-2}$．

提示    （2）假设$l$是$1,2,3,\cdots,m$中满足$a_n\neq b_n$的最小角标，则

$$\sum_{k=1}^{m}a_k-\sum_{k=1}^{m}b_k\equiv a_{l+1}-b_{l+1}+\left(a_l-b_l\right)\equiv \pm 2^l\pm 2^l\pm 2^l\pmod{2^{l+1}}.$$

（3）显然$\left\{a_n\right\}$的前$m$项和为正数，当且仅当$a_m>0$，此时$a_i(i=1,2,\cdots,m-1)$的符号随意．这样的数列共有$2^{m-1}$个．配对求和可得$A_m$中所有元素之和为$2^{m-1}\cdot 2^{m-1}=2^{2m-2}$．

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