2017年北京大学优特测试数学试题

共20个选择题，60分钟，考试日期为2017年5月14日．

1、数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 23$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2(2n+1)a_n+1}$，则数列 $\{a_n\}$ 的前 $2017$ 项和 $S_{2017}=$ （        ）

A．$\dfrac{2016}{2017}$

B．$\dfrac{2017}{2018}$

C．$\dfrac{4034}{4035}$

D．$\dfrac{4033}{4034}$

2、若 $x_1$ 是方程 $x{\rm e}^x={\rm e}^2$ 的解，$x_2$ 是方程 $x\ln x={\rm e}^2$ 的解，则 $x_1x_2=$（        ）

A．$1$

B．${\rm e}$

C．${\rm e}^2$

D．${\rm e}^4$

3、$9\tan 10^\circ+2\tan 20^\circ+4\tan 40^\circ-\tan 80^\circ=$（        ）

A．$0$

B．$\dfrac{\sqrt 3}3$

C．$1$

D．$\sqrt 3$

4、若对任意使得关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$（$ac\ne 0$）有实数解的 $a,b,c$ 均有 $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant rc^2$，则实数 $r$ 的最大值是（        ）

A．$1$

B．$\dfrac 98$

C．$\dfrac{9}{16}$

D．$2$

5、设函数 $f(x)=x^2+ax+b$，对于任意的 $a,b\in\mathbb R$，总存在 $x\in [0,4]$ 使得 $|f(x)|\geqslant m$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是（        ）

A．$\left(-\infty,\dfrac 12\right]$

B．$\left(-\infty,1\right]$

C．$\left(-\infty,2\right]$

D．$\left(-\infty,4\right]$

6、已知数列 $\{a_n\}$ 的通项公式是 $a_n=2^n$，数列 $\{b_n\}$ 的通项公式为 $b_n=5n-2$，那么集合 $\{a_1,a_2,\cdots,a_{2019}\}\cap\left\{b_i \mid i\in\mathbb N^{\ast}\right\}$ 中的元素个数为（        ）

A．$503$

B．$504$

C．$505$

D．$506$

7、过原点的直线 $l$ 与双曲线 $xy=-2\sqrt 2$ 交于 $P,Q$ 两点，其中 $P$ 在第二象限，$Q$ 在第四象限，现将上下两个半平面沿 $x$ 轴方向折成直二面角，则 $|PQ|$ 的最小值是（        ）

A．$2\sqrt 2$

B．$4$

C．$3\sqrt 2$

D．$4\sqrt 2$

8、数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$，若 $a_{2017}\in (k,k+1)$，其中 $k\in\mathbb N^{\ast}$，则 $k$ 的值是（        ）

A．$63$

B．$64$

C．$65$

D．$66$

9、已知实数 $a_i$（$i=1,2,3,4,5$）满足 $(a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+(a_3-a_4)^2+(a_4-a_5)^2=1$，则 $a_1-2a_2-a_3+2a_5$ 的最大值是（        ）
A．$2\sqrt 2$

B．$2\sqrt 5$

C．$\sqrt 5$

D．$\sqrt{10}$

10、设在 $\mathbb R$ 上可导的函数 $f(x)$ 满足 $f(x)-f(-x)=\dfrac 13x^3$，并且在 $(-\infty,0)$ 上有 $f'(x)<\dfrac 12x^2$，实数 $a$ 满足 $f(6-a)-f(a)\geqslant -\dfrac 13a^3+3a^2-18a+36$，则实数 $a$ 的取值范围是（        ）

A．$(-\infty,3]$

B．$[3,+\infty)$

C．$[4,+\infty)$

D．$(-\infty,4]$

11、桌面上有 $3$ 个半径为 $2017$ 的球两两相切，在其上方空隙里放一个球，使其顶点（最高点）与 $3$ 个球的顶点在同一平面内，则该球的半径是（        ）

A．$\dfrac{2017}6$

B．$\dfrac{2017}4$

C．$\dfrac{2017}3$

D．$\dfrac{2017}2$

12、$60$ 支球队两两比赛，且一定有胜负，每队赢的概率均为 $0.5$，设没有两队赢相同场数的概率为 $\dfrac qp$，其中 $p,q$ 为互质的正整数，则 $2^n$ 可整除 $p$ 的最大正整数 $n$ 是（        ）

A．$1768$

B．$1746$

C．$1714$

D．$1702$

13、设椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，离心率为 $\dfrac 34$，双曲线 $C_2:\dfrac{x^2}{c^2}-\dfrac{y^2}{d^2}=1$（$c,d>0$）的渐近线交椭圆 $C_1$ 于 $P$，$PF_1\perp PF_2$，则双曲线 $C_2$ 的离心率是（        ）

A．$\sqrt 2$

B．$\dfrac {9\sqrt 2}8$

C．$\dfrac{9\sqrt 2}4$

D．$\dfrac{3\sqrt 2}2$

14、设函数 $f(x)=x^2-\ln x$，$g(x)=x-1$，直线 $y=m$ 分别交曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 于点 $P,Q$，则 $|PQ|$ 的最小值为（        ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．$4$

15、方程组 $\begin{cases} x^{y^3-4y^2-11y+30}=1,\\ x+y=2\end{cases}$ 的实数解的组数是（         ）

A．$3$

B．$4$

C．$5$

D．$6$

16、设实数 $k_1,k_2$ 满足 $k_2>k_1>0$，且 $k_1k_2=4$，两双曲线 $C_1,C_2$ 的渐近线分别是 $y=\pm \dfrac {k_1}4(x-2)+2$ 和 $y=\pm k_2(x-2)+2$，且 $C_1,C_2$ 都经过原点，则双曲线 $C_1,C_2$ 的离心率 $e_1,e_2$ 的比值 $\dfrac{e_1}{e_2}$ 是（        ）

A．$\sqrt{\dfrac{16+k_1^2}{16+16k_2^2}}$

B．$\sqrt{\dfrac{16+16k_1^2}{16+k_2^2}}$

C．$1$

D．$2$

17、已知圆 $C_1,C_2$ 均过点 $(3,4)$，且其半径之积 $r_1r_2=80$．若 $x$ 轴是 $C_1,C_2$ 的公切线，且 $C_1,C_2$ 的另一条公切线 $l$ 通过原点，则 直线 $l$ 的斜率为（        ）

A．$\pm\dfrac{8\sqrt 5}{11}$

B．$-\dfrac{8\sqrt 5}{11}$

C．$\pm\dfrac{8\sqrt 3}{15}$

D．$-\dfrac {8\sqrt 3}{15}$

18、在 $\triangle ABC$ 中，$\cos A+\sqrt 2\cos B+\sqrt 2\cos C$ 的最大值是（        ）

A．$\sqrt 2+\dfrac 12$

B．$2\sqrt 2-1$

C．$2$

D．$2\sqrt 2$

19、两个相同的正四面体，四面分别标有 $1,2,3,4$，某人每次同时投掷这两个正四面体，规定每次两个底面数字之和为所得数字，共投掷 $3$ 次，则 $3$ 次所得数字之积能被 $10$ 整数的概率是（        ）

A．$\dfrac 12$

B．$\dfrac 38$

C．$\dfrac{11}{32}$

D．$\dfrac{15}{32}$

20、在圆锥中，$M$ 是顶点，$O$ 是底面中心，$A$ 在底面圆周上，$B$ 在底面圆内，$|MA|=6$，$AB\perp OB$，$OH\perp MB$ 于 $H$，$C$ 为 $MA$ 的中点，当四面体 $O-CHM$ 的体积最大时，$|BH|=$（        ）

A．$\dfrac{\sqrt{66}}{11}$

B．$\dfrac{\sqrt{66}}{22}$

C．$\sqrt 6$

D．$\dfrac{\sqrt 6}2$

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参考答案

1-5  CCABC

6-10 CBADA

11-15 CCBAB

16-20 CBCDD