2011年北京大学优秀中学生夏令营试题

1、已知$f(x)=ax^2+8x+b$，$g(x)=bx^2+8x+a$，且$f(x)$与$g(x)$的最小值之和为$0$，求$f(x)$的最小值与$g(x)$的最小值．

2、已知$\sin x,\sin y,\sin z$为严格递增的等差数列．求证：$\cos x,\cos y,\cos z$不是等差数列．

3、抛物线上有两点$A,B$，它们连线的中点为$K$，$A$处与$B$处的切线交于$C$．求证：$C$和$K$连线的中点在抛物线上．

4、是否存在函数$f:\mathcal R\to \mathcal R$，使得$f(-n^2+3n+1)=f^2(n)+2$对于任意整数$n$均成立？

5、如图所示，对于一个正$n$边形$A_1A_2A_3\cdots A_n$，延长$A_kA_{k+1}$至$B_{k+1}$（记$A_{n+1}=A_1$，$B_{n+1}=B_1$），使得$\triangle A_kB_kB_{k+1}$的周长相等．求证：所有三角形均全等．

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参考答案

1、根据已知条件，有

$$\begin{cases} a,b>0,\\ \dfrac{ab-16}{a}+\dfrac{ab-16}{b}=0,\end{cases}$$ 可得 $$ab-16=0,$$ 因此$f(x)$与$g(x)$的最小值均为$0$．

2、显然$A(\cos x,\sin x)$，$B(\cos y,\sin y)$，$C(\cos z,\sin z)$为单位圆上的三点．若$\cos x,\cos y,\cos z$为等差数列，则$B$是线段$AC$的中点，与$A,B,C$三点共圆矛盾．因此$\cos x,\cos y,\cos z$不是等差数列．

3、不妨设抛物线方程为$y^2=2px$，点$C$为$(x_0,y_0)$，则直线$AB$的方程为

$$y_0y=p(x+x_0),$$ 联立直线与抛物线方程可得 $$px^2+(2px_0-2y_0^2)x+px_0^2=0,$$ 于是由韦达定理得线段$AB$的中点坐标为$K\left(-x_0+\dfrac{y_0^2}{p},y_0\right)$，因此$C$与$K$连线的中点在抛物线上．

4、分别令$n=1,3$可得

$$\begin{cases} f(3)=f^2(1)+2,\\ f(1)=f^2(3)+2,\end{cases}$$ 两式相减可得 $$f(3)-f(1)=[f(1)-f(3)]\cdot [f(1)+f(3)],$$ 因此 $$f(1)=f(3)\lor f(1)+f(3)=-1.$$ 事实上，$f(1),f(3)\geqslant 2$，因此 $$f(1)+f(3)\neq -1.$$ 另一方面，方程 $$f(1)=f^2(1)+2$$ 无解，因此 $$f(1)\neq f(3).$$ 综上所述，不存在符合题意的函数$f(x)$．

5、考虑两个三角形$A_pB_pB_{p+1}$和$A_qB_qB_{q+1}$，由于

$$\angle B_pA_pB_{p+1}=\angle B_qA_qB_{q+1},$$ 于是若$A_pB_p\leqslant A_qB_q$，则$A_pB_{p+1}\geqslant A_qB_{q+1}$，否则根据余弦定理，有 $$B_pB_{p+1}<B_qB_{q+1},$$ 这样就与两个三角形的周长相等矛盾．类似的，若$A_pB_p\geqslant A_qB_q$，则$A_pB_{p+1}\leqslant A_qB_{q+1}$．

因此，若$n$为奇数，那么由$A_1B_1\leqslant A_2B_2$可以推得

$$A_3B_3\leqslant A_4B_4,\cdots ,A_nB_n\leqslant A_1B_1,$$ 因此 $$A_1B_1=A_2B_2=\cdots =A_nB_n,$$ 命题成立；类似的，$A_1B_1\geqslant A_2B_2$时命题也成立．

若$n$为偶数，那么若$A_1B_1\leqslant A_3B_3$，那么

$$A_1B_1\leqslant A_3B_3\leqslant A_5B_5\leqslant \cdots  \leqslant A_{n-1}B_{n-1}\leqslant A_1B_1,$$ 因此 $$A_1B_1=A_3B_3=A_5B_5=\cdots =A_{n-1}B_{n-1},$$ 类似的，若$A_1B_1\geqslant A_3B_3$，也有 $$A_1B_1=A_3B_3=A_5B_5=\cdots =A_{n-1}B_{n-1}.$$ 同理可得 $$A_2B_2=A_4B_4=\cdots =A_nB_n,$$ 进而用同样的方式可以从$A_1B_1$与$A_2B_2$的大小关系推导出$A_1B_1=A_2B_2$．

综上所述，所有的$A_iB_i$（$i=1,2,\cdots ,n$）均相同，进而所有的三角形都全等，原命题得证．