2011年北京大学优秀中学生夏令营试题

1、已知f(x)=ax2+8x+bg(x)=bx2+8x+a,且f(x)g(x)的最小值之和为0,求f(x)的最小值与g(x)的最小值.

2、已知sinx,siny,sinz为严格递增的等差数列.求证:cosx,cosy,cosz不是等差数列.

3、抛物线上有两点A,B,它们连线的中点为KA处与B处的切线交于C.求证:CK连线的中点在抛物线上.

4、是否存在函数f:RR,使得f(n2+3n+1)=f2(n)+2对于任意整数n均成立?

5、如图所示,对于一个正n边形A1A2A3An,延长AkAk+1Bk+1(记An+1=A1Bn+1=B1),使得AkBkBk+1的周长相等.求证:所有三角形均全等.

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参考答案

1、根据已知条件,有{a,b>0,ab16a+ab16b=0,可得ab16=0,因此f(x)g(x)的最小值均为0

2、显然A(cosx,sinx)B(cosy,siny)C(cosz,sinz)为单位圆上的三点.若cosx,cosy,cosz为等差数列,则B是线段AC的中点,与A,B,C三点共圆矛盾.因此cosx,cosy,cosz不是等差数列.

3、不妨设抛物线方程为y2=2px,点C(x0,y0),则直线AB的方程为y0y=p(x+x0),联立直线与抛物线方程可得px2+(2px02y20)x+px20=0,于是由韦达定理得线段AB的中点坐标为K(x0+y20p,y0),因此CK连线的中点在抛物线上.

4、分别令n=1,3可得{f(3)=f2(1)+2,f(1)=f2(3)+2,两式相减可得f(3)f(1)=[f(1)f(3)][f(1)+f(3)],因此f(1)=f(3)f(1)+f(3)=1.事实上,f(1),f(3),因此f(1)+f(3)\neq -1.另一方面,方程f(1)=f^2(1)+2无解,因此f(1)\neq f(3).综上所述,不存在符合题意的函数f(x)

5、考虑两个三角形A_pB_pB_{p+1}A_qB_qB_{q+1},由于\angle B_pA_pB_{p+1}=\angle B_qA_qB_{q+1},于是若A_pB_p\leqslant A_qB_q,则A_pB_{p+1}\geqslant A_qB_{q+1},否则根据余弦定理,有B_pB_{p+1}<B_qB_{q+1},这样就与两个三角形的周长相等矛盾.类似的,若A_pB_p\geqslant A_qB_q,则A_pB_{p+1}\leqslant A_qB_{q+1}

因此,若n为奇数,那么由A_1B_1\leqslant A_2B_2可以推得A_3B_3\leqslant A_4B_4,\cdots ,A_nB_n\leqslant A_1B_1,因此A_1B_1=A_2B_2=\cdots =A_nB_n,命题成立;类似的,A_1B_1\geqslant A_2B_2时命题也成立.

n为偶数,那么若A_1B_1\leqslant A_3B_3,那么A_1B_1\leqslant A_3B_3\leqslant A_5B_5\leqslant \cdots  \leqslant A_{n-1}B_{n-1}\leqslant A_1B_1,因此A_1B_1=A_3B_3=A_5B_5=\cdots =A_{n-1}B_{n-1},类似的,若A_1B_1\geqslant A_3B_3,也有A_1B_1=A_3B_3=A_5B_5=\cdots =A_{n-1}B_{n-1}.同理可得A_2B_2=A_4B_4=\cdots =A_nB_n,进而用同样的方式可以从A_1B_1A_2B_2的大小关系推导出A_1B_1=A_2B_2

综上所述,所有的A_iB_ii=1,2,\cdots ,n)均相同,进而所有的三角形都全等,原命题得证.

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