2015年北京大学自主招生选拔录取考试数学部分

一、选择题（选对得10分，不选得0分，选错扣5分）

1、整数$x,y,z$满足$xy+yz+zx=1$，则$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)$可能取到的值为（        ）

A．$16900$

B．$17900$

C．$18900$

D．前三个答案都不对

2、在不超过$99$的正整数中选出$50$个不同的正整数，已知这$50$个数中任两个的和都不等于$99$，也不等于$100$．这$50$个数的和可能等于（        ）

A．$3524$

B．$3624$

C．$3724$

D．前三个答案都不对

3、已知$x\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$，对任意实数$a$，函数$y=\cos^2x-2a\cos x+1$的最小值记为$g(a)$，则当$a$取遍所有实数时，$g(a)$的最大值为（        ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．前三个答案都不对

4、已知$10^{20}-2^{20}$是$2^n$的整数倍，则正整数$n$的最大值为（        ）

A．$21$

B．$22$

C．$23$

D．前三个答案都不对

5、在凸四边形$ABCD$中，$BC=4$，$\angle ADC=60^\circ$，$\angle BAD=90^\circ$，四边形$ABCD$的面积等于$\dfrac{AB\cdot CD+BC\cdot AD}{2}$，则$CD$的长（精确到小数点后$1$位）为（        ）

A．$6.9$

B．$7.1$

C．$7.3$

D．前三个答案都不对

二、填空题（填空题共5小题；请把每小题的正确答案填在横线上，每题10分）

6、满足等式$\left(1+\dfrac 1x\right)^{x+1}=\left(1+\dfrac{1}{2015}\right)^{2015}$的整数$x$的个数是_______．

7、已知$a,b,c,d\in[2,4]$，则$\dfrac{(ab+cd)^2}{(a^2+d^2)(b^2+c^2)}$的最大值与最小值的和为_______．

8、已知对于任意的实数$x\in [1,5]$，$\left|x^2+px+q\right|\leqslant 2$，不超过$\sqrt{p^2+q^2}$的最大整数是_______．

9、设$x=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$，$y=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$，$z=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，且$x+y+z=1$，则$x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}$的值为_______．

10、设$A_1,A_2,\cdots ,A_n$都是$9$元集合$\{1,2,\cdots ,9\}$的子集，已知$|A_i|$为奇数，$1\leqslant i\leqslant n$，$\left|A_i\cap A_j\right|$为偶数，$1\leqslant i\neq j\leqslant n$，则$n$的最大值为_______．

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参考答案

一、选择题

1、A

$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)=\left( (x+y)(y+z)(z+x)\right)^2$．令 $$\begin{cases}x+y=2,\\y+z=5,\\z+x=13,\end{cases}$$ 解得 $$\begin{cases}x=5,\\y=-3,\\z=8.\end{cases}$$ 经检验，这组解满足题意，此时$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)=16900$．

2、D

考虑将$1,2,\cdots,99$这$99$个正整数分成如下$50$组： $$(1,99),(2,98),\cdots,(47,53),(48,52),(49,51),(50).$$ 若选出的$50$个不同的正整数中没有$50$，则必有$2$个数位于 $$(1,99),(2,98),\cdots,(47,53),(48,52),(49,51)$$ 中的同一组，不合题意．所以这$50$个不同的正整数中必有$50$，而 $$(1,99),(2,98),\cdots,(47,53),(48,52),(49,51)$$ 中，每组有且只有一个数被选中．

因为$50+49=99$，所以$(49,51)$中选$51$；因为$51+48=99$，所以$(48,52)$中选$52$；以此类推，可得$50,51,52,\cdots,98,99$是唯一可能的选法．

经检验，选$50,51,52,\cdots,98,99$满足题意，此时$50+51+\cdots+98+99=3725$，故选D．

3、A

令$t=\cos x\in [0,1]$，令$h(t)=t^2-2at+1,t\in [0,1]$，则 $$g(a)=\begin{cases}1,&(a<0)\\1-a^2,&(0\leqslant a \leqslant 1)\\2-2a,&(a>1)\end{cases}$$ 故$g(a)$的最大值为$1$（$a\leqslant 0$时等号成立）．

4、D

$10^{20}-2^{20}=2^{20} \left(5^{20}-1\right)=2^{20} \left(5^{10}+1\right)\left(5^{5}+1\right)\left(5-1\right)\left(5^4+5^3+5^2+5+1\right)$，而$5^{10}+1$模$4$余$2$，$5^{5}+1$模$4$余$2$，$5^4+5^3+5^2+5+1$为奇数，故正整数$n$的最大值为$24$．

5、A

设四边形$ABCD$的面积为$S$，直线$AC,BD$的夹角为$\theta$，则 $$S=\dfrac{AC\cdot BD\cdot \sin \theta}{2}\leqslant\dfrac{AB\cdot CD+BC\cdot AD}{2}\cdot\sin\theta\leqslant \dfrac{AB\cdot CD+BC\cdot AD}{2},$$
由题意，$S=\dfrac{AB\cdot CD+BC\cdot AD}{2}$，所以$A,B,C,D$四点共圆，且$AC\perp BD$．

故$CD=4\sqrt{3}\approx 6.9$，选A．

二、填空题

6、$1$

若$x$为正整数，则 $$\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x+1}>\mathrm e>\left(1+\dfrac{1}{2015}\right)^{2015} ,$$

若$x$为负整数，令$x=-n(n\in \mathbf N_+,n\geqslant 2)$，则 $$\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x+1}=\left(1+\dfrac{1}{n-1}\right)^{n-1}.$$

因为数列$\left(1+\dfrac{1}{n-1}\right)^{n-1}(n\in \mathbf N_+,n\geqslant 2)$关于$n$单调递增，故当且仅当$x=-2016$时，有 $$\left(1+\dfrac 1x\right)^{x+1}=\left(1+\dfrac{1}{2015}\right)^{2015}.$$

7、$\dfrac{41}{25}$．

注意到 $$(a^2+d^2)(b^2+c^2)=(ab+cd)^2+(ac-bd)^2,$$ 于是 $$\begin{split} \dfrac{(ab+cd)^2}{(a^2+d^2)(b^2+c^2)}&=\dfrac{(ab+cd)^2}{(ab+cd)^2+(ac-bd)^2}\\ &=\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{ac-bd}{ab+cd}\right)^2},\end{split}$$ 显然当$ac-bd=0$时，原式取得最大值为$1$．

接下来考虑$\left|\dfrac{ac-bd}{ab+cd}\right|$的最大值．

由于 $$\left|\dfrac{ac-bd}{ab+cd}\right|=\left|\dfrac{\frac ad-\frac bc}{\frac ad\cdot \frac bc+1}\right|,$$ 令$\dfrac ad=\tan \alpha$，$\dfrac bc=\tan \beta$，则问题等价于当$\alpha,\beta\in \left[\arctan \dfrac 12,\arctan 2\right]$时，求$\tan|\alpha-\beta|$的最大值，显然为 $$\tan\left(\arctan 2-\arctan \dfrac 12\right)=\dfrac 34.$$

因此原式的最小值为$\dfrac{16}{25}$．

注    可以看做向量$(a,d)$和$(b,c)$夹角余弦的平方．

8、$9$

注意到$y=x^2+px+q$，$x\in [1,5]$满足$-2\leqslant y\leqslant 2$，因此符合题意的二次函数只有两个： $$y=x^2-6x+7,y=-x^2+6x-7.$$

9、$1$

由$x+y+z=1$，可得 $$\begin{split} &ab^2+ac^2-a^3+bc^2+a^2b-b^3+a^2c+b^2c-c^3-2abc\\=&\left(ab^2+a^2b-a^3-b^3 \right )+\left(ac^2+bc^2-c^3 \right )+\left(a^2c+b^2c-2abc \right)\\=&-(a+b)(a-b)^2+c^2(a+b-c)+c(a-b)^2\\=&-(a-b-c)(b-c-a)(c-a-b)\\=&0,\end{split}$$ 所以$a=b+c$或$b=c+a$或$c=a+b$，故$x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}=1$．

10、 $9$

构造是容易的，取$A_i=\{i\}$，$i=1,2,\cdots ,9$即可．

用$0,1$表示集合中的元素是否在子集中，如$A_1=\{1,3,4,5,9\}$，则记 $$A_1=(1,0,1,1,1,0,0,0,1),$$ 那么 $$A_i\cdot A_j=\left|A_i\cap A_j\right|.$$

显然，如果当$n\geqslant 10$时，必然存在$m$个向量线性相关，不妨设 $$\lambda_1A_1+\lambda_2A_2+\cdots +\lambda_mA_m=(0,0,\cdots ,0),$$ 其中$\lambda_i\in\mathcal Z$($i=1,2,\cdots ,m$)，$\lambda_1=1$．

此时考虑 $$A_1\cdot\left(\lambda_1A_1+\lambda_2A_2+\cdots +\lambda_mA_m\right),$$ 那么根据题意有$A_1\cdot A_1$为奇数，而$A_1\cdot A_i$($i=2,3,\cdots ,m$)为偶数，这样就推出了矛盾．

因此所求$n$的最大值为$9$．

注    用这个方法，可以得出$n$元集合至多有$n$个包含奇数个元素的子集，使得这些子集中任意两个的交集均包含偶数个元素．

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