1、方程ax2+(a+4)x+a+1=0有且仅有一个质根,求a的范围.
2、三角形的三边长分别为2,3,4,求其内切圆半径和外接圆半径.
3、设fk(x)=1k(sin2x−coskx),求m,n∈N∗且m>n,使fm(x)−fn(x)为恒定常数.
4、某一等差数列的a1<0,a100⩾74,a200<200,且在区间(12,5)中的项比[20,492]中该数列的项少2,求数列{an}的通项公式.
5、n个球队打单循环赛,第i支球队的胜场数为xi,负场数为yi,已知n∑i=1x3i=n∑i=1y3i.求证:n∑i=1x4i=n∑i=1y4i.
参考答案
1、分离变量,有a=−4x+1x2+x+1.考虑到方程有一个质根,设为m,则m⩾2,于是可由此推得−97⩽a<0,此时由韦达定理,方程的两个根m,n满足m−n=1+1a∈(−∞,29],所以方程不可能有两个质根.于是a的取值范围是所有形如−4m+1m2+m+1,其中m是质数的数组成的集合.
2、利用正弦定理可以求得外接圆半径R=8√1515,由三角形的面积可以推得内切圆半径r=√156.
3、令g(x)=fm(x)−fn(x),则g(x)=1m(sin2x−cosmx)−1n(sin2x−cosnx),令x=0,可得g(x)=1n−1m>0.
令x=π,可得1ncosnπ−1mcosmπ=1n−1m,于是cosnπ=cosmπ=1,即m,n是偶数;
令x=π2,可得1m−1n+(1ncosnπ2−1mcosmπ2)>0,由于1m−1n<0,因此cosnπ2=1,cosmπ2=−1,即n2是偶数,m2是奇数,此时2m=1n−1m,即m=3n,矛盾.
综上所述,不存在符合题意的m,n.
4、题中的两个区间的长度一样,因此12,5,20,492均为数列中的项.设数列的公差为d,则这四个数相邻两项之差92,15,92均为d的整数倍,于是32是d的整数倍,设d=32m(m∈N∗).
根据已知,有{a1<0,a1+99d⩾74,a1+199d<200,不难得到7499<d<6350,从而7563<m<297148,进而m=2,因此d=34.
综上所述,所求的an=34n−1.
5、根据单循环赛的规则,有xi+yi=n−1(i=1,2,⋯,n),并且n∑i=1xi=n∑i=1yi=n(n−1)2.
记k=n−1,则yi=k−xi(i=1,2,⋯,n),所以n∑i=1x2i−n∑i=1y2i=n∑i=1[(k−yi)2−(k−xi)2]=n∑i=1[2k(xi−yi)+(y2i−x2i)]=n∑i=1y2i−n∑i=1x2i,因此n∑i=1x2i=n∑i=1y2i.
类似地,可以证明n∑i=1(x4i−y4i)=n∑i=1y4i−n∑i=1x4i,因此原命题得证.