2012年北京大学优秀中学生夏令营试题

1、方程ax2+(a+4)x+a+1=0有且仅有一个质根,求a的范围.

2、三角形的三边长分别为2,3,4,求其内切圆半径和外接圆半径.

3、设fk(x)=1k(sin2xcoskx),求m,nNm>n,使fm(x)fn(x)为恒定常数.

4、某一等差数列的a1<0a10074a200<200,且在区间(12,5)中的项比[20,492]中该数列的项少2,求数列{an}的通项公式.

5、n个球队打单循环赛,第i支球队的胜场数为xi,负场数为yi,已知ni=1x3i=ni=1y3i.求证:ni=1x4i=ni=1y4i



参考答案

1、分离变量,有a=4x+1x2+x+1.考虑到方程有一个质根,设为m,则m2,于是可由此推得97a<0,此时由韦达定理,方程的两个根m,n满足mn=1+1a(,29],所以方程不可能有两个质根.于是a的取值范围是所有形如4m+1m2+m+1,其中m是质数的数组成的集合.

2、利用正弦定理可以求得外接圆半径R=81515,由三角形的面积可以推得内切圆半径r=156

3、令g(x)=fm(x)fn(x),则g(x)=1m(sin2xcosmx)1n(sin2xcosnx),x=0,可得g(x)=1n1m>0.

x=π,可得1ncosnπ1mcosmπ=1n1m,于是cosnπ=cosmπ=1,m,n是偶数;

x=π2,可得1m1n+(1ncosnπ21mcosmπ2)>0,由于1m1n<0,因此cosnπ2=1,cosmπ2=1,n2是偶数,m2是奇数,此时2m=1n1m,m=3n,矛盾.

综上所述,不存在符合题意的m,n

4、题中的两个区间的长度一样,因此12,5,20,492均为数列中的项.设数列的公差为d,则这四个数相邻两项之差92,15,92均为d的整数倍,于是32d的整数倍,设d=32m(mN).

根据已知,有{a1<0,a1+99d74,a1+199d<200,不难得到7499<d<6350,从而7563<m<297148,进而m=2,因此d=34

综上所述,所求的an=34n1

5、根据单循环赛的规则,有xi+yi=n1(i=1,2,,n),并且ni=1xi=ni=1yi=n(n1)2.

k=n1,则yi=kxi(i=1,2,,n),所以ni=1x2ini=1y2i=ni=1[(kyi)2(kxi)2]=ni=1[2k(xiyi)+(y2ix2i)]=ni=1y2ini=1x2i,因此ni=1x2i=ni=1y2i

类似地,可以证明ni=1(x4iy4i)=ni=1y4ini=1x4i,因此原命题得证.

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