2015年北京大学化学体验营数学试题

1、设$A,B,C,D,X$为圆周上依次排列的五个点，已知$\angle AXB = \angle BXC = \angle CXD$，$AX = a$，$BX = b$，$CX = c$，求$DX$的长．

2、集合$M=\left \{1,2, \cdots ,99 \right\}$，集合$A$是集合$M$的子集，$A$中的元素个数为偶数，且$A$中元素之和为奇数，求符合要求的集合$A$的个数．

3、求证：

（1）$\cos \dfrac {2\pi}{11}+\cos \dfrac {4\pi}{11}+\cos \dfrac {6\pi}{11}+\cos \dfrac {8\pi}{11}+\cos \dfrac {10\pi}{11}=-\dfrac1 2$；

（2）$\tan \dfrac {3\pi}{11}+4\sin \dfrac {2\pi}{11}=\sqrt {11}$．

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参考答案

1、因为

$$\angle AXB=\angle BXC=\angle CXD,$$ 故 $$AB = BC = CD.$$ 设 $$\begin{split} DX = d,AB = BC = CD = m,\\ \angle AXB = \angle BXC = \angle CXD = \theta ,\end{split}$$ 由余弦定理，可得 $$\begin{split} \begin{eqnarray} a^2+b^2-2ab\cos\theta=m^2 ,\\ b^2+c^2-2bc\cos\theta=m^2,\\ c^2+d^2-2cd\cos\theta=m^2.\end{eqnarray} \end{split}$$ 由(1)(2)两式，可得 $$\begin{eqnarray}a^2-c^2=2b(a-c)\cos\theta.\end{eqnarray}$$ 由(2)(3)两式，可得 $$\begin{eqnarray}b^2-d^2=2c(b-d)\cos\theta.\end{eqnarray}$$

情形1    若$a=c$， 易知此时$BX$为该圆的直径，$0<\theta< \dfrac{\pi}{4}$，所以

$$\begin{split} \begin{eqnarray}\cos\theta=\dfrac a b,\\m^2=b^2-a^2.\end{eqnarray} \end{split}$$ 其中$\cos\theta=\dfrac a b \in \left (\dfrac {\sqrt 2}{2},1 \right).$ 将(6)(7)两式代入(3)式，可得 $$d=\dfrac {2a^2-b^2}{b} \lor d=b,$$ 经检验，此时 $$d=\dfrac {2a^2-b^2}{b}.$$

情形2    若$b=d$， 则此时

$$d=b.$$  

情形3    若$a\ne c$且$b\ne d$， 由(4)式可得

$$\cos\theta=\dfrac {a+c}{2b},$$ 由(5)式可得 $$\cos\theta=\dfrac {b+d}{2c},$$ 所以 $$\dfrac {a+c}{2b}=\dfrac {b+d}{2c},$$ 解得 $$d=\dfrac {ac+c^2-b^2}{b}.$$   经检验，当$a=c$或$b=d$时， $$d=\dfrac {ac+c^2-b^2}{b}$$ 也成立．

综上所述，$DX$的长为

$$\dfrac {ac+c^2-b^2}{b}.$$  

【注】 本题用托勒密定理可秒，也无需分类讨论．各位读者不妨一试．感谢Kuroba Kaito的提醒．

2、易知集合$A$中奇元素的个数为奇数个，偶元素的个数也为奇数个. 故符合要求的集合$A$的个数为

$$\left (\mathrm C _{50}^1+\mathrm C _{50}^3+\cdots+\mathrm C _{50}^{49} \right ) \left (\mathrm C _{49}^1+\mathrm C _{49}^3+\cdots+\mathrm C _{49}^{49} \right )=2^{97}.$$  

3、（1）

$$\begin{split}&\cos \dfrac {2\pi}{11}+\cos \dfrac {4\pi}{11}+\cos \dfrac {6\pi}{11}+\cos \dfrac {8\pi}{11}+\cos \dfrac {10\pi}{11}\\=&\dfrac{\sin \dfrac{\pi}{11} \left (\cos \dfrac {2\pi}{11}+\cos \dfrac {4\pi}{11}+\cos \dfrac {6\pi}{11}+\cos \dfrac {8\pi}{11}+\cos \dfrac {10\pi}{11} \right )}{\sin \dfrac {\pi}{11}}, \end{split}$$ 对上式中的分子应用积化和差公式，可得上式等于 $$\dfrac {\sin \pi - \sin \dfrac {\pi}{11}}{2\sin{\dfrac {\pi}{11}}}=-\dfrac 1 2 .$$  

【注】用向量或者复数的知识也可以解决此题．

（2） 因为

$$\begin{split} &\left (\sin \dfrac {3\pi}{11} +4 \sin \dfrac {2\pi}{11} \cos \dfrac {3\pi}{11} \right ) ^2 -11 \cos^2 \dfrac {3\pi}{11}\\=&\left (\sin \dfrac {3\pi}{11} +2 \sin \dfrac {5\pi}{11}-2 \sin \dfrac {\pi}{11} \right ) ^2 -11 \cos^2 \dfrac {3\pi}{11}\\=&12\sin ^2 \dfrac {3\pi}{11}+4\sin ^2 \dfrac {5\pi}{11}+4 \sin ^2\dfrac{\pi}{11}\\ &\qquad+4\sin\dfrac{3\pi}{11}\sin\dfrac{5\pi}{11}-4\sin\dfrac{3\pi}{11}\sin\dfrac{\pi}{11}-8\sin\dfrac{5\pi}{11}\sin\dfrac{\pi}{11}-11\\=&6\left(1-\cos\dfrac{6\pi}{11}\right)+2\left(1-\cos\dfrac{10\pi}{11}\right)+2\left(1-\cos\dfrac{2\pi}{11}\right)\\ &\qquad +2\left(\cos\dfrac{2\pi}{11}-\cos\dfrac{8\pi}{11}\right)-2\left(\cos\dfrac{2\pi}{11}-\cos\dfrac{4\pi}{11}\right)-4\left(\cos\dfrac{4\pi}{11}-\cos\dfrac{6\pi}{11}\right)-11\\=&-1-2\left(\cos \dfrac {2\pi}{11}+\cos \dfrac {4\pi}{11}+\cos \dfrac {6\pi}{11}+\cos \dfrac {8\pi}{11}+\cos \dfrac {10\pi}{11}\right)\\=&0,\end{split}$$ 所以 $$\left(\tan\dfrac{3\pi}{11}+4\sin\dfrac{2\pi}{11}\right)^2=11,$$ 易知$\tan\dfrac{3\pi}{11}+4\sin\dfrac{2\pi}{11}>0$，故 $$\tan\dfrac{3\pi}{11}+4\sin\dfrac{2\pi}{11}=\sqrt{11}.$$

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