每日一题[241]的另解

本文作者为琴月阳，由意琦行编辑．原题链接为：每日一题[241] 分析端点，原文作者为意琦行．

2013年高考浙江卷理科数学第17题（填空压轴题）： 设$a\in\mathcal R$，若$x>0$时均有$\left[(a-1)x-1\right]\left(x^2-ax-1\right)\geqslant 0$，则$a=$_______．

视$a$为主元，$x$为参数，将不等式两边除以$x^2$，并且整理变形如下： $$\left[a-\left(1+\dfrac 1x\right)\right]\cdot\left[a-\left(x-\dfrac 1x\right)\right]\leqslant 0,$$ 记$\max\left\{1+\dfrac 1x,x-\dfrac 1x\right\}=m(x)$，$\min\left\{1+\dfrac 1x,x-\dfrac 1x\right\}=n(x)$． 由一元二次不等式的解法应有 $$n(x)\leqslant a\leqslant m(x),$$ 即$a\in [n(x),m(x)]$．这个闭区间是一个动区间，随着$x$的取值变化，形成一系列区间，而$a$的可能取值就是所有这些区间的交集． 当$x$的取值合理的时候，这个区间可以充分的小甚至退化成一个点，而$a$始终应该保持在区间内，当区间变成点的时候，别无选择，就应该和该点的数值一致，因此有 $$a=1+\dfrac 1x=x-\dfrac 1x,$$ 解得 $$x=2\land a=\dfrac 32.$$

作者寄语

我是一名高中数学教师，当然也是一名数学爱好者，很喜欢您这个栏目，每天都尝试挑战您发布的题目，当然还是“阵亡”偏多，不过依旧很享受，收获颇丰，以后会更加深入的关注您发布的东西，向您多多取经，也感谢您制作了这样一个栏目供教师学生以及数学爱好者使用，代表他们向您致敬，希望“数海拾贝”越办越好．