2008年全国II卷理科数学压轴题的简解

2008年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）：

设函数$f(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}$．

（1）求$f(x)$的单调区间；

（2）如果对任何$x\geqslant 0$，都有$f(x)\leqslant ax$，求$a$的取值范围．

解    （1）根据已知，$f(x)$的导函数为 $$f'(x)=\dfrac{2\cos x+1}{\left(2+\cos x\right)^2},$$ 于是$f(x)$的单调递增区间为$\left(2k\pi-\dfrac{2\pi}3,2k\pi+\dfrac{2\pi}{3}\right)$，单调递减区间为$\left(2k\pi+\dfrac{2\pi}3,2k\pi+\dfrac{4\pi}3\right)$，其中$k\in\mathcal Z$．

（2）题中条件即 $$\forall x\geqslant 0,ax-f(x)\geqslant 0,$$ 记左侧函数为$g(x)$，则 $$g'(x)=\dfrac{a\cos^2x+(4a-2)\cos x+4a-1}{\left(2+\cos x\right)^2},$$ 分析端点，考虑到$g(0)=0$，于是 $$g'(0)=3a-1\geqslant 0,$$ 否则在$x=0$的右邻域内不等式不成立，于是得到必要条件$a\geqslant \dfrac 13$．

接下来证明充分性． 若$a\geqslant \dfrac 13$，则当$x\geqslant 0$时，有 $$ax-f(x)\geqslant \dfrac 13x-f(x),$$ 而 $$\left(\dfrac 13x-f(x)\right)'=\dfrac{\left(\cos x-1\right)^2}{3\left(2+\cos x\right)^2}\geqslant 0,$$ 于是有 $$\forall x\geqslant 0,\dfrac 13x-f(x)\geqslant \left.\left(\dfrac 13x-f(x)\right)\right|_{x=0}=0,$$ 于是题中不等式恒成立．

综上，$a$的取值范围是$\left[\dfrac 13,+\infty\right)$．