2012年辽宁理科压轴题的简解

2012年高考辽宁卷理科数学第21题（压轴题）：

设$f(x)=\ln (x+1)+\sqrt{x+1}+ax+b$，其中$a,b\in\mathcal R$，$a,b$是常数，曲线$y=f(x)$与直线$y=\dfrac 32 x$在$(0,0)$点相切．

（1）求$a,b$的值；

（2）证明：当$0<x<2$时，$f(x)<\dfrac{9x}{x+6}$．

解与证明    （1）根据题意，有 $$f(0)=0\land f'(0)=\dfrac 32,$$ 解得 $$a=0,b=-1.$$

（2）欲证明结论为当$0<x<2$时，有 $$\ln (x+1)+\sqrt{x+1}-1<\dfrac{9x}{x+6},$$ 令$t=\sqrt{x+1}$，其中$t\in\left(1,\sqrt 3\right)$，则只需要证明 $$2\ln t+t-1<\dfrac{9\left(t^2-1\right)}{t^2+5},$$ 我们熟知$\forall t>1,\ln t<t-1$，于是只需要证明 $$3(t-1)<\dfrac{9\left(t^2-1\right)}{t^2+5},$$ 即 $$\dfrac{3(t-1)^2(t-2)}{t^2+5}<0,$$ 这显然成立，于是命题得证．

注    第（2）问的关键在于如何处理根号和对数符号，标答给出的证明分别利用$\sqrt{x+1}<\dfrac x2+1$局部放缩以及整体求导处理两者．事实上，利用换元处理根号，然后利用常用函数不等式处理对数符号更加的简洁明了．