[竞赛] 2015年联赛二试第1题的另解

2015年全国高中数学联合竞赛A卷二试第1题：

设$a_1,a_2,\cdots,a_n$（$n\geqslant 2$）是实数，证明：可以选取$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\left\{-1,1\right\}$，使得 $$\left(\sum_{i=1}^n{a_i}\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n{\varepsilon_ia_i}\right)^2\leqslant (n+1)\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right).$$

解    由柯西不等式知 $$\left(\sum_{i=1}^n{a_i}\right)^2\leqslant n\sum_{i=1}^n{a_i^2},$$ 故只需证 $$\left(\sum_{i=1}^n\varepsilon_ia_i\right)^2\leqslant\sum_{i=1}^n{a_i^2}.$$

用反证法，若不存在$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\{-1,1\}$使得上式成立，则对任意$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\{-1,1\}$，有 $$\left(\sum_{i=1}^n\varepsilon_ia_i\right)^2>\sum_{i=1}^n{a_i^2}.$$

在上面的式子中，对$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$的每个数分别取$1$与$-1$，得到$2^n$个不同的式子，再将所有这$2^n$个式子的左边与右边分别相加，得到 $$2^n\sum_{i=1}^n{a_i^2}>2^n\sum_{i=1}^n{a_i^2},$$ 这不可能．

注    相加时，左边任何一个交叉项$a_ia_j$的系数和都为$0$．

所以假设不成立，即存在$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\left\{-1,1\right\}$，使得 $$\left(\sum_{i=1}^n{a_i}\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n{\varepsilon_ia_i}\right)^2\leqslant (n+1)\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right).$$