2015年全国高中数学联合竞赛A卷二试第1题：
设\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)（\(n\geqslant 2\)）是实数，证明：可以选取\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\left\{-1,1\right\}\)，使得\[\left(\sum_{i=1}^n{a_i}\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n{\varepsilon_ia_i}\right)^2\leqslant (n+1)\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right).\]
解 由柯西不等式知\[\left(\sum_{i=1}^n{a_i}\right)^2\leqslant n\sum_{i=1}^n{a_i^2},\]故只需证\[\left(\sum_{i=1}^n\varepsilon_ia_i\right)^2\leqslant\sum_{i=1}^n{a_i^2}.\]
用反证法，若不存在\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\{-1,1\}\)使得上式成立，则对任意\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\{-1,1\}\)，有\[\left(\sum_{i=1}^n\varepsilon_ia_i\right)^2>\sum_{i=1}^n{a_i^2}.\]
在上面的式子中，对\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)的每个数分别取\(1\)与\(-1\)，得到\(2^n\)个不同的式子，再将所有这\(2^n\)个式子的左边与右边分别相加，得到\[2^n\sum_{i=1}^n{a_i^2}>2^n\sum_{i=1}^n{a_i^2},\]这不可能．
注 相加时，左边任何一个交叉项\(a_ia_j\)的系数和都为\(0\)．
所以假设不成立，即存在\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\left\{-1,1\right\}\)，使得\[\left(\sum_{i=1}^n{a_i}\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n{\varepsilon_ia_i}\right)^2\leqslant (n+1)\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right).\]