圆周率用字母π（读作pài）表示，是一个常数（约等于3.141592654），是代表圆周长和直径的比值．它是一个无理数，即无限不循环小数．在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算．而用十位小数3.141592654便足以应付一般计算．即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百位．那么如何证明π是无理数呢？
证明：首先证明：
\[\int_0^tf(u)\sin udu=\left[F'(u)\sin u-F(u)\cos u\right]\left.\right|_0^t,\]
其中
\[F(x)=f(x)-f''(x)+f^{(4)}(x)-\cdots+(-1)^nf^{(2n)}(x)+\cdots\]
这是容易的，只需要兑右边求导然后抵消就可以了．
若\(\pi\)不是无理数，则令\(\pi=\frac ab\)，其中\(a,b\)为互素的自然数．
取\[f(x)=\frac{x^n(a-bx)^n}{n!},t=\pi,\]则
\[\int_0^tf(u)\sin udu=\int_0^{\pi}\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}\sin xdx.\]
考虑右边的积分函数，当\(0<x<\pi\)时，
\[0<\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}\sin x<\frac{a^nx^n(\pi-x)^n}{n!}.\]
当\(n\)足够大时，
\[\frac{a^nx^n(\pi-x)^n}{n!}<\frac 1{\pi},\]
从而\[0<\int_0^{\pi}\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}\sin xdx<1.\]
再看右边，
\[\left[F'(u)\sin u-F(u)\cos u\right]\left.\right|_0^t=F(\pi)+F(0).\]
很显然，无论\(F(\pi)\)还是\(F(0)\)，它的每一项均为整数，因此\(F(\pi)+F(0)\)为整数．
这样就导出了矛盾，因此\(\pi\)是无理数．