证明π是无理数

圆周率用字母π（读作pài）表示，是一个常数（约等于3.141592654），是代表圆周长和直径的比值．它是一个无理数，即无限不循环小数．在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算．而用十位小数3.141592654便足以应付一般计算．即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百位．那么如何证明π是无理数呢？

证明：首先证明：

$$\int_0^tf(u)\sin udu=\left[F'(u)\sin u-F(u)\cos u\right]\left.\right|_0^t,$$

其中

$$F(x)=f(x)-f''(x)+f^{(4)}(x)-\cdots+(-1)^nf^{(2n)}(x)+\cdots$$

这是容易的，只需要兑右边求导然后抵消就可以了．

若$\pi$不是无理数，则令$\pi=\frac ab$，其中$a,b$为互素的自然数．

取 $$f(x)=\frac{x^n(a-bx)^n}{n!},t=\pi,$$ 则

$$\int_0^tf(u)\sin udu=\int_0^{\pi}\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}\sin xdx.$$

考虑右边的积分函数，当$0<x<\pi$时，

$$0<\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}\sin x<\frac{a^nx^n(\pi-x)^n}{n!}.$$

当$n$足够大时，

$$\frac{a^nx^n(\pi-x)^n}{n!}<\frac 1{\pi},$$

从而 $$0<\int_0^{\pi}\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}\sin xdx<1.$$

再看右边，

$$\left[F'(u)\sin u-F(u)\cos u\right]\left.\right|_0^t=F(\pi)+F(0).$$

很显然，无论$F(\pi)$还是$F(0)$，它的每一项均为整数，因此$F(\pi)+F(0)$为整数．

这样就导出了矛盾，因此$\pi$是无理数．