证明e是无理数

e，作为数学常数，是自然对数函数的底数．有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier)引进对数．它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一．那么如何证明e是无理数呢？

证明：因为

$$\mathrm e=1+\dfrac 1{1!}+\dfrac 1{2!}+\dfrac 1{3!}+\cdots+\dfrac 1{n!}+\cdots$$

所以有①式

$$n!\cdot \mathrm e=n!+n!+n(n-1)(n-2)\cdots 3+n(n-1)(n-2)\cdots 4+1+\dfrac 1{n+1}+\dfrac 1{(n+1)(n+2)}+\dfrac 1{(n+1)(n+2)(n+3)}+\cdots$$

若$\mathrm e$不是无理数，而是有理数，设$\mathrm e=\dfrac ab$，其中$a,b$为互素的自然数．

那么当$n$足够大时（例如$n>b$时），①式右边 $$n!+n!+n(n-1)(n-2)\cdots 3+n(n-1)(n-2)\cdots 4+1$$ 显然为整数，而另外一部分 $$\begin{split}0&<\dfrac 1{n+1}+\dfrac 1{(n+1)(n+2)}+\dfrac 1{(n+1)(n+2)(n+3)}+\cdots\\&<\dfrac 1{n+1}+\dfrac 1{(n+1)^2}+\dfrac 1{(n+1)^3}+\cdots\\&=\dfrac{\dfrac 1{n+1}}{1-\dfrac 1{n+1}}\\&=\dfrac 1n<1\end{split}$$

所以①式右边不为整数，这与$n!\cdot\mathrm e=n!\cdot\dfrac ab$为整数矛盾，因此$\mathrm e$是无理数．