一道数论风格的组合大题

这是2014年北京市海淀区一模试题的压轴题:

在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点),\(A(n):A_1,A_2,\cdots,A_n\)与\(B(n):B_1,B_2,\cdots,B_n\),其中\(n\geqslant 3\),若同时满足:

①点列的起点和终点分别相同;

②线段\(A_iA_{i+1}\perp B_iB_{i+1}\),其中\(i=1,2,\cdots,n-1\).则称\(A(n)\)与\(B(n)\)互为正交点列.

(1)求\(A(3):A_1(0,2),A_2(3,0),A_3(5,2)\)的正交点列;

(2)判断:\(A(4):A_1(0,0),A_2(3,1),A_3(6,0),A_4(9,1)\)是否存在正交点列\(B(4)\),并说明理由.

(3)对于任意\(n\geqslant 5\),\(n\in\mathcal N\),是否都存在无正交点列的有序整点列\(A(n)\)?并证明你的结论.


(1)设\(B_2(x,y)\),则

\[\begin{cases}(x,y-2)\cdot (3,-2)=0\\ (x-5,y-2)\cdot (2,2)=0\end{cases},\]

解得\[x=2\land y=5.\]

于是\(B(3):B_1(0,2),B_2(2,5),B_3(5,2)\)为所求.

(2)记\[A'(n):\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow {A_2A_3}\cdots,\overrightarrow{A_{n-1}A_n}.\]则

\[A'(4):(3,1),(3,-1),(3,1).\]

于是\[B'(4):\lambda_1(1,-3),\lambda_2(1,3),\lambda_3(1,-3).\]

式中\(\lambda_i\in\mathcal N,i=1,2,3\).

因此\[\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=9\\-3\lambda_1+3\lambda_2-3\lambda_3=1.\]

矛盾!因此\(A(4):A_1(0,0),A_2(3,1),A_3(6,0),A_4(9,1)\)不存在正交点列\(B(4)\).

(3)结论是肯定的,构造如下:

当\(n\)为偶数时,取

\[A_1(0,0),A'(n):(3,1),(3,-1),(3,1),(3,-1),\cdots,(3,1).\]

当\(n\)为奇数时,取

\[A_1(0,0),A'(n):(3,1),(3,-1),(3,1),(3,-1),\cdots,(3,1),(3,-2).\]

证明与(2)类似.

思路要点为:

① 当几何思路受挫时,果断转为代数分析,积极构造不变量\(\sum y_i\);

② 由于\(\sum y_i=y_n-y_1\),因此用横坐标控制\(\sum y_i\)为\(3\)的倍数,直接用首尾纵坐标之差控制\(y_n-y_1\)不是\(3\)的倍数即可.

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