解析几何试题的解题可以分为三步:读题构图,设参表达,消参求解,其中每一步都有各自的关键和诀窍.接下来分享的试题就体现了在“设参表达”方面的不同思路带来的解法差异.
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,抛物线准线与x轴交于C点,若∠CBF=90∘,则|AF|−|BF|的值为________.
设A(x1,y1),B(x2,y2).
关键条件∠CBF=90∘可以有三种转化方式:
方式一
直接用数量积表达(x2+p2,y2)⋅(x1−x2,y1−y2)=0.以下略.
方式二
作AD垂直x轴于D,则Rt△CBF∽Rt△ADF.于是CFBF=AFDF.以下略.
方式三
利用极坐标方程.设AB的方向角为θ,则AF=ρ1−cosθ,BF=ρ1+cosθ.而cosθ=BFCF=BFp.从而可得1−cos2θ=cosθ.另一方面,根据定义AF−BF=2pcosθ1−cos2θ=2p.
不难看出,由于此题和焦点相关,因此采用极坐标方程处理焦半径是最好的方法,你想到了吗?
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