解析几何试题中的条件转化

解析几何试题的解题可以分为三步:读题构图,设参表达,消参求解,其中每一步都有各自的关键和诀窍.接下来分享的试题就体现了在“设参表达”方面的不同思路带来的解法差异.

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于AB两点,抛物线准线与x轴交于C点,若CBF=90,则|AF||BF|的值为________.

QQ20141230-1

A(x1,y1)B(x2,y2)

关键条件CBF=90可以有三种转化方式:

方式一

直接用数量积表达(x2+p2,y2)(x1x2,y1y2)=0.以下略.

方式二

AD垂直x轴于D,则RtCBFRtADF.于是CFBF=AFDF.以下略.

QQ20141230-2

方式三

利用极坐标方程.设AB的方向角为θ,则AF=ρ1cosθ,BF=ρ1+cosθ.cosθ=BFCF=BFp.从而可得1cos2θ=cosθ.另一方面,根据定义AFBF=2pcosθ1cos2θ=2p.

不难看出,由于此题和焦点相关,因此采用极坐标方程处理焦半径是最好的方法,你想到了吗?

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