解析几何试题中的条件转化

解析几何试题的解题可以分为三步：读题构图，设参表达，消参求解，其中每一步都有各自的关键和诀窍．接下来分享的试题就体现了在“设参表达”方面的不同思路带来的解法差异．

过抛物线$y^2=2px(p>0)$的焦点$F$的直线与抛物线交于$A$，$B$两点，抛物线准线与$x$轴交于$C$点，若$\angle CBF=90^\circ$，则$|AF|-|BF|$的值为________．

设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$．

关键条件$\angle CBF=90^\circ$可以有三种转化方式：

方式一

直接用数量积表达

$$\left(x_2+\frac p2,y_2\right)\cdot (x_1-x_2,y_1-y_2)=0.$$ 以下略．

方式二

作$AD$垂直$x$轴于$D$，则$\mathrm{Rt}\triangle CBF\backsim \mathrm{Rt}\triangle ADF$．于是

$$\frac{CF}{BF}=\frac{AF}{DF}.$$ 以下略．

方式三

利用极坐标方程．设$AB$的方向角为$\theta$，则

$$AF=\frac{\rho}{1-\cos\theta},BF=\frac{\rho}{1+\cos\theta}.$$ 而 $$\cos\theta=\frac{BF}{CF}=\frac{BF}p.$$ 从而可得 $$1-\cos^2\theta=\cos\theta.$$ 另一方面，根据定义 $$AF-BF=\frac{2p\cos\theta}{1-\cos^2\theta}=2p.$$

不难看出，由于此题和焦点相关，因此采用极坐标方程处理焦半径是最好的方法，你想到了吗？