这是2014年东城区一模压轴题： 已知集合\(\{1,2,3,4,\cdots,n\}(n\geqslant 3\)，若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有\(2\)个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于\(1\)，则称这些子集为离散子集，记离散子集的个数为\(a_n\)．
（1）当\(n=5\)时，写出所有离散子集；
（2）求\(a_{10}\);
（3）记\[S_n=\frac {a_3}{2^3}+\frac {a_4}{2^4}+\cdots+\frac {a_n}{2^n},\]求证：\(S_n<2\)．
（1）（2）略； 我们容易得到\[a_n=\mathrm C_{n-1}^2+\mathrm C_{n-2}^3+\mathrm C_{n-3}^4+\cdots\] 对于这种许多组合数的和，可以利用杨辉三角找规律： 
从图中容易得到递推规律： \[a_{n+2}=a_{n+1}+a_n+n.\] 于是\[\frac{a_{n+2}}{2^{n+2}}=\frac 12\cdot\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}+\frac 14\cdot\frac{a_n}{2^n}+\frac n{2^{n+2}}.\] 两边求和，有 \[S_{n+2}=\frac 12S_{n+1}+\frac 14S_n+\sum_{k=1}^n\frac k{2^{k+2}}<\frac 12S_{n+1}+\frac 14S_n+\frac 12.\] 所以由\(S_3,S_4<2\)可递推得\(S_n<2\)．
点评 已知通项时，一般先放缩后求和；已知递推时，一般先求和再放缩．