任何抛物线都是相似的

2014年的安徽卷理科数学解析大题（第19题）是：

---

 如图，已知两条抛物线$E_1:y^2=2p_1x(p_1>0)$和$E_2:y^2=2p_2x(p_2>0)$，过原点$O$的两条直线$l_1$和$l_2$，$l_1$与$E_1$，$E_2$分别交于$A_1$，$A_2$两点，$l_2$与$E_1$，$E_2$分别交于$B_1$，$B_2$两点． (I) 证明：$A_1B_1 \parallel A_2B_2$；

(II) 过$O$作直线$l$（异于$l_1$，$l_2$）与$E_1$，$E_2$分别交于$C_1$，$C_2$两点．记$\triangle A_1B_1C_1$与$\triangle A_2B_2C_2$的面积分别为$S_1$与$S_2$，求$\dfrac {S_1}{S_2}$的值．

---

首先需要定义相似：在直角平面坐标系中，如果曲线$C_1$经过平移、旋转、对称和$x$、$y$轴方向等比例的伸缩可以与曲线$C_2$重合，那么就说这两条曲线是相似的． 其中平移、旋转和对称都是等积变换，而对于伸缩变换

$$\begin{cases}x'=kx\\y'=ky\end{cases}$$ 其面积比$\dfrac {S'}S=k^2$． 于是，抛物线$y=2px$可以通过伸缩变换 $$\begin{cases}x'=\dfrac {p'}px\\y'=\dfrac {p'}{p}y\end{cases}$$ 变为$y=2p'x$． 因此所有抛物线都是相似的，表征其大小的量就是焦准距$p$．