任何抛物线都是相似的

2014年的安徽卷理科数学解析大题（第19题）是：

 如图，已知两条抛物线\(E_1:y^2=2p_1x(p_1>0)\)和\(E_2:y^2=2p_2x(p_2>0)\)，过原点\(O\)的两条直线\(l_1\)和\(l_2\)，\(l_1\)与\(E_1\)，\(E_2\)分别交于\(A_1\)，\(A_2\)两点，\(l_2\)与\(E_1\)，\(E_2\)分别交于\(B_1\)，\(B_2\)两点． (I) 证明：\(A_1B_1 \parallel A_2B_2\)；

(II) 过\(O\)作直线\(l\)（异于\(l_1\)，\(l_2\)）与\(E_1\)，\(E_2\)分别交于\(C_1\)，\(C_2\)两点．记\(\triangle A_1B_1C_1\)与\(\triangle A_2B_2C_2\)的面积分别为\(S_1\)与\(S_2\)，求\(\dfrac {S_1}{S_2}\)的值．

首先需要定义相似：在直角平面坐标系中，如果曲线\(C_1\)经过平移、旋转、对称和\(x\)、\(y\)轴方向等比例的伸缩可以与曲线\(C_2\)重合，那么就说这两条曲线是相似的． 其中平移、旋转和对称都是等积变换，而对于伸缩变换\[\begin{cases}x'=kx\\y'=ky\end{cases}\]其面积比\(\dfrac {S'}S=k^2\)． 于是，抛物线\(y=2px\)可以通过伸缩变换\[\begin{cases}x'=\dfrac {p'}px\\y'=\dfrac {p'}{p}y\end{cases}\]变为\(y=2p'x\)． 因此所有抛物线都是相似的，表征其大小的量就是焦准距\(p\)．