一道有趣的三角不等式

这是华东师范大学第二附属中学数学教材（创新班和理科班用）中的一道例题：

已知锐角三角形$ABC$，求证： $$\sum_{cyc}\left(\sin A+\tan A\right)>2\pi.$$

考虑到 $$\sin x < x <\tan x,x\in \left(0,\frac {\pi}2\right).$$

于是可以尝试证明 $$\sin x +\tan x > 2x,x\in \left(0,\frac {\pi}2\right).$$

法一

由于 $$\left(\sin x+\tan x-2x\right)'=\left(\cos x +\frac 1{\cos^2x}-2\right)>0,$$ 因此命题得证．

法二

令$\tan \frac x2=m$，则 $$\sin x +\tan x=\frac {2m}{1+m^2}+\frac {2m}{1-m^2}=\frac {4m}{1-m^2}>4m>2x.$$

因此命题得证．