2014年北京解析几何大题

已知椭圆$C:x^2+2y^2=4$．

(1) 求椭圆$C$的离心率；

(2) 设$O$为原点，若点$A$在椭圆$C$上，点$B$在直线$y=2$上，且$OA\perp OB$，试判断直线$AB$与圆$x^2+y^2=2$的位置关系，并证明你的结论．

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(1) $e=\frac {\sqrt 2}2$；
(2) 设$A(\rho_A \cos\theta,\rho_A \sin\theta),B\left(\rho_B \cos\left(\theta+\frac {\pi}2\right),\rho_B \sin \left(\theta+\frac {\pi}2\right)\right)$则

$$\begin{split}\rho_A^2\cos^2\theta+2\rho_A^2\sin^2\theta&=4,\\\rho_B\sin\left(\theta+\frac {\pi}2\right)&=2.\end{split}$$ 从而 $$\frac 1{\rho_A^2}=\frac 14\cos^2\theta+\frac 12\sin^2\theta,\frac 1{\rho_B^2}=\frac 14\cos^2\theta.$$ 而在$\mathrm{Rt}\triangle OAB$中，原点到直线$AB$的距离$d$满足 $$\frac 1{d^2}=\frac 1{OA^2}+\frac 1{OB^2}=\frac 12.$$ 因此直线$AB$与圆$x^2+y^2=2$相切．

补充一组有趣的结论：
对于椭圆$\frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，有两个特别的圆：

(1) $x^2+y^2=r^2$，其中$\frac 1{r^2}=\frac 1{a^2}+\frac 1{b^2}$．它的任意一条切线被椭圆截得的弦对原点的张角恒为直角；
(2) $x^2+y^2=R^2$，其中$R^2=a^2+b^2$．从该圆上的任意一点引椭圆的两条切线夹角恒为直角．