圆锥曲线题一则（极坐标方程）

已知椭圆$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$，直线$l$过左焦点$F$与椭圆交于点$A$、$B$，椭圆的左准线上存在点$R$，使得$\triangle ABR$为正三角形，求椭圆的离心率$e$的范围．

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设$AB$的中点为$M$，连接$RM$．

利用椭圆的极坐标方程

$$\rho =\dfrac {ep}{1-e\cos \theta},$$ 我们有 $$\begin{split}\rho_A&=\dfrac {b^2}{a-c\cos \theta},\\\rho_B&=\dfrac {b^2}{a-c\cos (\theta+\pi)}=\dfrac {b^2}{a+c\cos\theta}.\end{split}$$
于是 $$x_M=\dfrac 12(\rho_A\cdot \cos \theta +\rho_B\cdot \cos (\theta+\pi))=\dfrac {b^2c\cos^2\theta}{a^2-c^2\cos^2\theta}.$$ 根据题意 $$(\rho_A+\rho_B)\cdot \dfrac {\sqrt 3}2\cdot \cos\left(\theta+\dfrac {\pi}2\right)=x_R-x_M.$$ 因此 $$-\dfrac {\sqrt 3ab^2\sin\theta}{a^2-c^2\cos^2\theta}=-\dfrac {b^2}c-\dfrac {b^2c\cos^2\theta}{a^2-c^2\cos^2\theta},$$ 化简得 $$e=\dfrac 1{\sqrt 3\sin\theta}.$$ 因此离心率$e$的取值范围为$\left(\dfrac {\sqrt 3}3,1\right)$．

图中绿线表示$R$点的轨迹，当该轨迹与准线相切时即为临界情况．