存在性命题的证明

今天要吐槽的是2015年北京市东城区高三二模数学理科的第18题：

已知函数$f(x)=x+a\cdot {\mathrm e}^{-x}$．

（1）当$a={\mathrm e}^2$时，求函数$f(x)$在区间$[1,3]$上的最小值；

（2）求证：存在实数$x_0\in [-3,3]$，有$f(x_0)>a$．

第1小问中规中矩，$f(x)$在区间$[1,3]$上的最小值为$f(2)=3$；

第2小问很神奇，标准答案讨论了函数的单调性（完全当解答题而非证明题对待），下面给出我的作法：

注意到 $$\begin{split}f(-3)-a&=-3+\left({\mathrm e}^3-1\right)\cdot a,\\f(3)-a&=3+\left({\mathrm e}^{-3}-1\right)\cdot a,\end{split}$$ 于是当$a\leqslant 0$时，有 $$f(3)-a\geqslant 3>0,$$ 当$a>0$时，有 $$f(-3)+f(3)-2a=\left({\mathrm e}^3+{\mathrm e}^{-3}-2\right)\cdot a>0,$$ 于是 $$\max\left\{f(-3),f(3)\right\}>a,$$ 因此原命题得证．