存在性命题的证明

今天要吐槽的是2015年北京市东城区高三二模数学理科的第18题：

已知函数\(f(x)=x+a\cdot {\mathrm e}^{-x}\)．

（1）当\(a={\mathrm e}^2\)时，求函数\(f(x)\)在区间\([1,3]\)上的最小值；

（2）求证：存在实数\(x_0\in [-3,3]\)，有\(f(x_0)>a\)．

第1小问中规中矩，\(f(x)\)在区间\([1,3]\)上的最小值为\(f(2)=3\)；

第2小问很神奇，标准答案讨论了函数的单调性（完全当解答题而非证明题对待），下面给出我的作法：

注意到\[\begin{split}f(-3)-a&=-3+\left({\mathrm e}^3-1\right)\cdot a,\\f(3)-a&=3+\left({\mathrm e}^{-3}-1\right)\cdot a,\end{split}\]于是当\(a\leqslant 0\)时，有\[f(3)-a\geqslant 3>0,\]当\(a>0\)时，有\[f(-3)+f(3)-2a=\left({\mathrm e}^3+{\mathrm e}^{-3}-2\right)\cdot a>0,\]于是\[\max\left\{f(-3),f(3)\right\}>a,\]因此原命题得证．