证明数列收敛

已知数列{xn}满足limn(xnxn2)=0,求证:limnxnxn1n=0


证明:设yn=xnxn1nN,则原问题转化为已知limn(yn+yn1)=0,求证:limnynn=0

根据已知,有ε>0N(ε)N,使得当n>N时,均有|yn+yn1|<12ε,此时有yn=(yn+yn1)+(1)(yn1+yn2)+(1)2(yn2+yn3)++(1)nN1(yN+1+yN)+(1)nNyN,从而|yn|从而\dfrac{\left|y_n\right|}{n}\leqslant \dfrac 12\varepsilon -\dfrac{N}{2n}\varepsilon+\dfrac{\left|y_N\right|}{n}<\dfrac 12\varepsilon +\dfrac{\left|y_N\right|}{n},此时只需要取N_0=\max\left\{N(\varepsilon,\left[\dfrac{2\left|y_N\right|}{\varepsilon}\right]+1\right\}即可使得\dfrac{\left|y_n\right|}{n}<\varepsilon,因此\lim_{n\to\infty}\dfrac{\left|y_n\right|}{n}=0,进而原命题得证.

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