证明数列收敛

已知数列$\left\{x_n\right\}$满足$\lim\limits_{n\to \infty}\left(x_n-x_{n-2}\right)=0$，求证：$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_n-x_{n-1}}{n}=0$．

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证明：设$y_n=x_n-x_{n-1}$，$n\in \mathcal N^*$，则原问题转化为已知$\lim\limits_{n\to \infty}\left(y_n+y_{n-1}\right)=0$，求证：$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{y_n}{n}=0$．

根据已知，有$\forall \varepsilon>0$，$\exists N(\varepsilon)\in\mathcal N^*$，使得当$n>N$时，均有

$$\left|y_n+y_{n-1}\right|<\dfrac 12\varepsilon,$$ 此时有 $$y_n=\left(y_n+y_{n-1}\right)+(-1)\left(y_{n-1}+y_{n-2}\right)+(-1)^2\left(y_{n-2}+y_{n-3}\right)+\cdots+(-1)^{n-N-1}\left(y_{N+1}+y_{N}\right)+(-1)^{n-N}y_N,$$ 从而 $$\left|y_n\right|\leqslant \dfrac 12(n-N)\varepsilon+\left|y_N\right|,$$ 从而 $$\dfrac{\left|y_n\right|}{n}\leqslant \dfrac 12\varepsilon -\dfrac{N}{2n}\varepsilon+\dfrac{\left|y_N\right|}{n}<\dfrac 12\varepsilon +\dfrac{\left|y_N\right|}{n},$$ 此时只需要取$N_0=\max\left\{N(\varepsilon,\left[\dfrac{2\left|y_N\right|}{\varepsilon}\right]+1\right\}$即可使得 $$\dfrac{\left|y_n\right|}{n}<\varepsilon,$$ 因此 $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{\left|y_n\right|}{n}=0,$$ 进而原命题得证．