2014年江苏卷压轴题

2o14年高考江苏卷第26题：

已知$f_0(x)=\dfrac {\sin x}x(x>0).$，设$f_n(x)$为$f_{n-1}(x)$的导数，$n\in{\bf N}^*$．

(1) 求$2f_1\left(\dfrac {\pi}2\right)+\dfrac {\pi}2f_2\left(\dfrac {\pi}2\right)$.

(2)证明：$\forall n\in {\bf N}^*,\left|nf_{n-1}\left(\dfrac {\pi}4\right)+\dfrac {\pi}4f_n\left(\dfrac {\pi}4\right)\right|=\dfrac {\sqrt 2}2$．

注意到 $$xf_0(x)=\sin x,$$ 两边求导可得 $$f_0(x)+xf_1(x)=\cos x.$$ 进而可得 $$2f_1(x)+xf_2(x)=-\sin x,\\3f_2(x)+xf_3(x)=-\cos x,\\\cdots \cdots\\nf_{n-1}(x)+x\cdot f_n(x)=\sin \left(x+\dfrac {\pi}2\cdot n\right).$$

因此不难计算得 (1)的结果为$-1$，(2)亦得证．