12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案: 已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,⋯,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 ( )
A.440
B.330
C.220
D.110
正确答案为A.
分析与解 分段考虑数列1,1,2,1,2,4,⋯,1,2,⋯,2k−1,⋯,该数列的前1+2+⋯+k=k(k+1)2项的和为S(k(k+1)2)=1+(1+2)+⋯+(1+2+⋯+2k−1)=2k+1−k−2.要使得k(k+1)2>100,有k⩾14,此时k+2<2k+1,所以k+2是之后的等比数列1,2,⋯,2k的部分和,也即k+2=1+2+⋯+2s−1=2s−1,所以k=2s−3⩾14,最小的s=5,此时k=25−3=29,对应最小的满足条件的N=29⋅302+5=440.
16.如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D,E,F 为圆 O 上的点,△DBC,△ECA,△FAB 分别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB 为折痕折起 △DBC,△ECA,△FAB,使得 D,E,F 重合,得到三棱锥.当 △ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_______.
分析与解 连接 OD,交 BC 于 H,如图
设 BC=2x,则 0<2x<5√3, OH=x√3,DH=5−x√3 .所以V=13⋅√34⋅(2x)2⋅√(5−x√3)2−(x√3)2=√33⋅x2⋅√25−10x√3=√33⋅√x⋅x⋅x⋅x⋅10√3(5√32−x)=√33⋅√x⋅x⋅x⋅x⋅52√3(10√3−4x)⩽√33⋅√52√3(10√35)5=4√15.当x=2√3时取等号.
20.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),四点 P1(1,1)、P2(0,1)、P3(−1,√32)、P4(1,√32) 中恰有三点在椭圆 C 上.
(1)求 C 的方程;
(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 −1 ,证明: l 过定点.
分析与解 (1)根据椭圆的对称性,可知 P2,P3,P4 在椭圆 C 上,所以椭圆方程为 x24+y2=1.
(2)将坐标系向上平移一个单位,如图
椭圆方程化为 C′:x′24+(y′+1)2=1,即14x′2+y′2+2y′=0, 设直线 l 对应的直线 l′ 为 mx′+ny′=1,则化齐次联立,得 14x′2+y′2+2y′(mx′+ny′)=0, 整理得 (2n+1)y′2+2mx′y′+14x′2=0, 结合两直线斜率之和为 −1,得 2m=2n+1,即2m−2n=1, 所以直线 l′ 恒过点 Q′(2,−2),在原坐标系中,直线 l 过点 Q(2,−1).
21.已知函数f(x)=ae2x+(a−2)ex−x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
分析与解 (1)f(x)的导函数为f′(x)=2ae2x+(a−2)ex−1=(aex−1)(2ex+1).
当a⩽0时,f′(x)<0;
当a>0时,在区间(−∞,ln1a)上有f′(x)<0,在区间(ln1a,+∞)上有f′(x)>0.
综上,当a⩽0时,f(x)在R上单调递减;
当a>0时,f(x)在(−∞,ln1a)上单调递减,在(ln1a,+∞)上单调递增.
(2)令f(x)=0,即ae2x+(a−2)ex−x=0,所以有a=2ex+xe2x+ex.于是函数f(x)有两个零点,即y=a与g(x)=2ex+xe2x+ex的图象有两个交点.
g(x)的导函数为g′(x)=−(2ex+1)(ex+x−1)ex(ex+1)2,当x<0时,g′(x)>0;当x>0时,g′(x)<0时,所以g(x)在(−∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,且g(x)在x=0处取得最大g(0)=1.
当a⩾1时,y=a与g(x)至多有一个零点,不符合题意;
当a⩽0时,由于当x⩾0时,g(x)>0,而当x<0时,g(x)是单调递增,所以y=a与g(x)至多有一个交点,不符合题意;
当0<a<1时,一方面,由于g(−2)<0<a,g(0)=1>a,且g(x)在(−2,0)上单调递增,所以y=a与g(x)在(−2,0)上有且仅有一个交点.
另一方面,取x0=ln3a,g(x0)=2ex0+x0e2x0+ex0<3ex0e2x0=3ex0=a,所以在(0,ln3a)上,有g(0)>a,g(ln3a)<a.且g(x)在区间(0,ln3a)上单调递减,于是y=a与g(x)在区间(0,ln3a)上有且仅有一个交点.
综上,当0<a<1时,函数f(x)有两个零点.