2017年高考全国 I 卷理科压轴题详解

12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案: 已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数NN>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 (  )

A.440
B.330
C.220
D.110

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正确答案为A.

分析与解 分段考虑数列1,1,2,1,2,4,,1,2,,2k1,,该数列的前1+2++k=k(k+1)2项的和为S(k(k+1)2)=1+(1+2)++(1+2++2k1)=2k+1k2.要使得k(k+1)2>100,有k14,此时k+2<2k+1,所以k+2是之后的等比数列1,2,,2k的部分和,也即k+2=1+2++2s1=2s1,所以k=2s314,最小的s=5,此时k=253=29,对应最小的满足条件的N=29302+5=440.


16.如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 OD,E,F 为圆 O 上的点,DBC,ECA,FAB 分别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB 为折痕折起 DBC,ECA,FAB,使得 D,E,F 重合,得到三棱锥.当 ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_______.

分析与解 连接 OD,交 BCH,如图

BC=2x,则 0<2x<53OH=x3DH=5x3 .所以V=1334(2x)2(5x3)2(x3)2=33x22510x3=33xxxx103(532x)=33xxxx523(1034x)33523(1035)5=415.x=23时取等号.


20.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),四点 P1(1,1)P2(0,1)P3(1,32)P4(1,32) 中恰有三点在椭圆 C 上.

(1)求 C 的方程;

(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1 ,证明: l 过定点.

分析与解 (1)根据椭圆的对称性,可知 P2,P3,P4 在椭圆 C 上,所以椭圆方程为 x24+y2=1

(2)将坐标系向上平移一个单位,如图

椭圆方程化为 C:x24+(y+1)2=1,14x2+y2+2y=0, 设直线 l 对应的直线 lmx+ny=1,则化齐次联立,得 14x2+y2+2y(mx+ny)=0, 整理得 (2n+1)y2+2mxy+14x2=0, 结合两直线斜率之和为 1,得 2m=2n+1,2m2n=1, 所以直线 l 恒过点 Q(2,2),在原坐标系中,直线 l 过点 Q(2,1)


21.已知函数f(x)=ae2x+(a2)exx

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

分析与解 (1)f(x)的导函数为f(x)=2ae2x+(a2)ex1=(aex1)(2ex+1).
a0时,f(x)<0

a>0时,在区间(,ln1a)上有f(x)<0,在区间(ln1a,+)上有f(x)>0

综上,当a0时,f(x)R上单调递减;

a>0时,f(x)(,ln1a)上单调递减,在(ln1a,+)上单调递增.

(2)令f(x)=0,即ae2x+(a2)exx=0,所以有a=2ex+xe2x+ex.于是函数f(x)有两个零点,即y=ag(x)=2ex+xe2x+ex的图象有两个交点.
g(x)的导函数为g(x)=(2ex+1)(ex+x1)ex(ex+1)2,当x<0时,g(x)>0;当x>0时,g(x)<0时,所以g(x)(,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减,且g(x)x=0处取得最大g(0)=1

a1时,y=ag(x)至多有一个零点,不符合题意;

a0时,由于当x0时,g(x)>0,而当x<0时,g(x)是单调递增,所以y=ag(x)至多有一个交点,不符合题意;

0<a<1时,一方面,由于g(2)<0<a,g(0)=1>a,g(x)(2,0)上单调递增,所以y=ag(x)(2,0)上有且仅有一个交点.

另一方面,取x0=ln3ag(x0)=2ex0+x0e2x0+ex0<3ex0e2x0=3ex0=a,所以在(0,ln3a)上,有g(0)>a,g(ln3a)<a.g(x)在区间(0,ln3a)上单调递减,于是y=ag(x)在区间(0,ln3a)上有且仅有一个交点.

综上,当0<a<1时,函数f(x)有两个零点.

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