从勾股数出发构造

试在$m\times n$的矩形表中填入$m\cdot n$个互不相同的数，使得每一行每一列的平方和都是平方数．

分析与解　从$3^2+4^2=5^2$出发，利用 $$n^2+\left(\dfrac{n^2-1}2\right)^2=\left(\dfrac{n^2+1}2\right)^2,$$ 其中$n$是奇数，可得序列 $$3,4,12,84,3612,\cdots,$$ 其递推公式为$a_1=3$，$a_2=4$，且 $$a_{n+1}=\dfrac {\left(a_n+1\right)^2-1}2=\dfrac{a_n(a_n+2)}2,n\geqslant 2,n\in\mathbb N^*.$$ 这个数列的前$n$($n\geqslant 2$)项的平方和 $$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2=(a_n+1)^2,$$ 为平方数．

利用这个数列可以构造满足题意的矩阵 $$\begin{matrix} a_1a_1 & a_1a_2 & a_1a_3 & \cdots & a_1a_n \\ a_2a_1 & a_2a_2 & a_2a_3 & \cdots & a_2a_n \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\ a_ma_1 & a_ma_2 & a_ma_3 & \cdots &a_ma_n \end{matrix}$$ 其中第$i$行的平方和为$a_i^2(a_n+1)^2$，第$j$列的平方和为$(a_m+1)^2a_j^2$，均为平方数．其中任何两个数都不相同．

注　如果两个数$a_ia_j$与$a_ka_l$中有相同的项，则两个数显然不同；如果两个数中任何项都不同，因为$a_{n+1}=\dfrac{a_n(a_n+2)}2>a_n\cdot\dfrac{a_n}2=a_n\cdot a_{n-1}\cdot\dfrac {a_{n-1}+2}4>a_na_{n-1}$，所以下标最大的数所在组的数一定更大，从而任何两个数都不同．