与组合数相关的级数和问题

已知$n>m\geqslant 0$，$n,m\in\mathbb N$，求证：$\displaystyle \sum_{i=0}^n{\rm C}_n^i(-1)^i(i+1)^m=0$．

证明　考虑函数 $$f(x)=\sum_{i=0}^n{\rm C}_n^i(-1)^i{\rm e}^{(i+1)x},$$ 其$m$阶导数为 $$f^{(m)}(x)=\sum_{i=0}^n{\rm C}_n^i(-1)^i(i+1)^m{\rm e}^{(i+1)x},$$ 于是 $$f^{(m)}(0)=\sum_{i=0}^n{\rm C}_n^i(-1)^i(i+1)^m.$$ 另一方面，根据二项式定理，函数 $$f(x)={\rm e}^x\left(1-{\rm e}^x\right)^n.$$ 设函数 $$F_k(x)={\rm e}^{(n-k+1)x}\left(1-{\rm e}^x\right)^k,k=1,2,\cdots ,n,$$ 则 $$F_k'(x)={\rm e}^{(n-k+1)x}\cdot \left[(n-k+1)\left(1-{\rm e}^x\right)^k+k\cdot \left(1-{\rm e}^x\right)^{k-1}\cdot \left(-{\rm e}^x\right)\right]=(n-k+1)F_k(x)-kF_{k-1}(x),$$ 于是$F_n'(0),F_n''(0),\cdots ,F_n^{(n-1)}(0)$均为$0$．

综上所述，原命题得证．