一道三角不等式的证明

求证：$\sin x+\dfrac 12\sin 2x+\dfrac 13\sin 3x+\cdots +\dfrac{1}{n}\sin nx>0$，其中$n\in\mathbb N^*$，$x\in (0,\pi)$．

分析与证明　如图，分别为$n=1,2,3,4$的情形．记左侧为$f_n(x)$，对$n$进行归纳．当$n=1$时命题即$\sin x>0,x\in (0,\pi)$．显然成立．假设当$n=1,2,\cdots ,k-1$($k\geqslant 2$)成立，也即$$\sin x+\dfrac 12\sin 2x+\dfrac 13\sin 3x+\cdots +\dfrac{1}{n}\sin nx>0.$$那么当$n=k$时，设$x=x_0$是$f_k(x)$的最小值点，那么有$$f'(x_0)=\cos x_0+\cos 2x_0+\cdots +\cos kx_0=0,$$而\[\begin{split} \sum_{i=1}^k\cos ix&=\dfrac{1}{2\sin\dfrac x2}\sum_{i=1}^k\left(2\cos ix\cdot\sin\dfrac x2\right)\\
&=\dfrac{1}{2\sin\dfrac x2}\sum_{i=1}^k\left(\sin\dfrac{2i+1}{2}x-\sin\dfrac{2i-1}2x\right)\\
&=\dfrac{1}{2\sin\dfrac x2}\left(\sin\dfrac{2k+1}{2}x-\sin\dfrac x2\right),\end{split} \]因此$$\sin\dfrac{x_0}2=\sin\dfrac{2k+1}{2}x_0.$$

若$f_k(x_0)\leqslant 0$，则根据归纳假设，有$$\dfrac{1}{i+1}\sin(i+1)x_0+\cdots +\dfrac{1}{k}\sin kx_0<0,i=1,2,\cdots ,k-1.$$将$f_k(x_0)\leqslant 0$以及$i=1,2,\cdots ,k-1$时的各式累加，有$$\sin x_0+\sin 2x_0+\sin 3x_0+\cdots +\sin kx_0<0.$$而\[\begin{split} \sum_{i=1}^k\sin ix&=\dfrac{1}{2\sin\dfrac x2}\sum_{i=1}^k\left(2\sin ix\cdot\sin\dfrac x2\right)\\&=\dfrac{1}{2\sin\dfrac x2}\sum_{i=1}^k\left(\cos\dfrac{2i-1}{2}x-\cos\dfrac{2i+1}2x\right)\\&=\dfrac{1}{2\sin\dfrac x2}\left(\cos\dfrac x2-\cos\dfrac{2k+1}{2}x\right),\end{split} \]于是$$0<\cos\dfrac{x_0}2<\cos\dfrac{2k+1}2x_0,$$进而$$1-\cos^2\dfrac{x_0}2>1-\cos^2\dfrac{2k+1}2x_0,$$与$\sin\dfrac{x_0}2=\sin\dfrac{2k+1}{2}x_0$矛盾．因此$f_k(x_0)>0$．

综上所述，原命题得证．

思考与总结　本题的背景为傅立叶级数$\displaystyle \dfrac{\pi-x}{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}\sin nx,0<x<2\pi$．证明过程综合使用第二数学归纳法和反证法，优美而富有技巧性．