论证与构造

给定正整数$n$，正六边形的六个顶点处各写有一个非负整数，其和为$n$．现在可以进行如下操作：擦掉一个顶点上的数，然后写上相邻两个顶点上的数的差的绝对值．求所有的$n$，使得无论开始时写有哪些整数，都可以进行一系列操作，使得每个顶点上的数都是$0$．

分析与解　若六个数的奇偶性按顺时针顺序依次为偶，奇，奇 ，偶，奇，奇，则无论怎样操作，这六个数的奇偶性都不会变，故不能通过一系列操作使得每个顶点上的数都是$0$，因此所有不小于$4$的偶数都不满足题目条件，下面证明其它数都满足题目条件．

当$n=2$时，所有数最多有$2$个$1$或者$1$个$2$，分类讨论易知一定能变成全$0$．

下面仅考虑$n$是奇数的情况，我们证明更强的命题：只要初始六个数的奇偶性不是偶，奇，奇，偶，奇，奇(或者其轮换形式)，也不全为偶数，那么一定能通过有限次操作使得所有数都变成$0$．

对其中最大的数进行归纳，最大数为$1$时枚举易知结论一定成立．

假设最大数小于$k$时命题成立，考虑最大数等于$k$的情况．事实上，我们只需要证明可以通过一系列操作，使得等于$k$的数的个数减少(每次只要减少，数次以后一定变成所有数都小于$k$)，而且六个数的奇偶性不是偶，奇，奇，偶，奇，奇(或者其轮换形式)，也不是全为偶数即可．

不妨设六个数顺次为$a_1,a_2,\cdots ,a_6$，且$a_1=k$，由于可将$a_1$换成$\left|a_2-a_6\right|$，所以只需要讨论一下两种情况．

情况1　$\left|a_2-a_6\right|=k$，由于$0\leqslant a_2,a_6\leqslant k$，由对称性不妨设$a_2=k$，$a_6=0$．

(1.1) 若$a_3\ne 0$，则将$a_2$换成$|a_1-a_3|<k$，注意到若$a_1,|a_1-a_3|,a_3,a_4,a_5,a_6$的奇偶性为偶，奇，奇，偶，奇，奇(或者其轮换形式)或全偶数，则由$a_6=0$知$a_3$为偶数，且$a_1,|a_1-a_3|,a_4,a_5$奇偶性相同，这说明$a_1,a_2,a_4,a_5$奇偶性相同($a_1=a_2$)，即$a_1,a_2,\cdots ,a_6$也是偶，奇，奇，偶，奇，奇(或者其轮换形式)或全偶数，矛盾．故可以将$a_2$换成$|a_1-a_3|<k$，等于$k$的数的个数减少一个．

(1.2) 若$a_3=0$，易知$a_4,a_5$不能与$k$奇偶性相同(否则奇偶性有问题)，不妨设$a_4$与$k$奇偶性不同，则先将$a_3$换成$a_2-a_4=k-a_4$，再将$a_2$换成$a_1-(k-a_4)=a_4$，最后将$a_3$换成$a_4-a_4=0$，此时等于$k$的数的个数减少一个，且$a_1,a_4$奇偶性不同，不会有奇偶性的问题．

情况2　$|a_2-a_6|,a_2,\cdots ,a_6$的奇偶性恰为偶，奇，奇，偶，奇，奇(或者其轮换形式)或全偶数，但$a_1,a_2,\cdots ,a_6$的奇偶性不是这样．由对称性分三种情况．

(2.1) $a_1,a_2,a_3,a_5,a_6$都是奇数，$a_4$是偶数．若$a_2,a_3,a_5,a_6$中有等于$k$的，考虑将这个$k$换成周围两个数之差的绝对值，则不会出现情况2，化归为普通情况或情况1，可以解决．若$a_2,a_3,a_5,a_6$都不等于$k$，则先将$a_2$换为$k-a_3$，再将$a_1$换成$|k-a_3-a_6|$即可．

(2.2) $a_1,a_2,a_5$是偶数，$a_3,a_4,a_6$是奇数．先将$a_2$换为$k-a_3$，再将$a_1$换成$|k-a_3-a_6|$即可．

(2.3) $a_1$是奇数，$a_2,a_3,a_4,a_5,a_5$都是偶数．若$a_3\ne 0$，则先将$a_2$换为$k-a_3$，再将$a_1$换成$|k-a_3-a_6|$即可；同理，若$a_5\ne 0$，也可以操作．若$a_3=a_5=0$，则可以将$a_2,a_6$都换成$k$，再将$a_1$换成$0$，最后将$a_2,a_4,a_6$都换成$0$即可．

综上所述，满足题目条件的$n$为所有正奇数及$2$．