数形结合解一道恒成立问题

若不等式(x+3+2sinθcosθ)2+(x+acosθ+asinθ)218

对任意实数xθ[0,π2]恒成立,则实数a的取值范围是_____.


分析与解 原不等式即[x+2+(sinθ+cosθ)2]2+[x+a(sinθ+cosθ)]218.

A(x+2,x)B((sinθ+cosθ)2,a(sinθ+cosθ)),则不等式左边的几何意义是A,B之间距离的平方.点A在直线y=x2上运动,点B在曲线y2=a2x(x[2,1])上运动,如图.
屏幕快照 2016-09-06 上午10.46.51a0时,B的纵坐标非负,一定满足题意;
a>0时,设下方曲线段端点分别为P(2,a22)Q(1,a2),进而可以计算出下列临界值:
(1) P在直线y=x32上,此时a2=3+1728
(2) Q在直线y=x32上,此时a2=254
(3) PQ与直线y=x32相切,此时a2=6
(4) Q在直线y=x52上,此时a2=494
所以当a>0时,有a2[0,6][494,+)

于是(,6][72,+)为所求取值范围.

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数形结合解一道恒成立问题》有3条回应

  1. hewanyi说:

    怎样将习题及答案导出以作研究之用呢?

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