数形结合解一道恒成立问题

若不等式 $$\left(x+3+2\sin\theta\cos\theta\right)^2+\left(x+a\cos\theta+a\sin\theta\right)^2\geqslant \dfrac 18$$ 对任意实数$x$和$\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$恒成立，则实数$a$的取值范围是_____．

分析与解　原不等式即 $$\left[x+2+\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2\right]^2+\left[x+a\left(\sin\theta+\cos\theta\right)\right]^2\geqslant \dfrac 18.$$ 设$A(x+2,x)$，$B\left(-\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2,-a\left(\sin\theta+\cos\theta\right)\right)$，则不等式左边的几何意义是$A,B$之间距离的平方．点$A$在直线$y=x-2$上运动，点$B$在曲线$y^2=-a^2x$($x\in [-\sqrt 2,-1]$)上运动，如图．
当$a\leqslant 0$时，$B$的纵坐标非负，一定满足题意；
当$a>0$时，设下方曲线段端点分别为$P\left(-\sqrt 2,-\sqrt{a^2\sqrt 2}\right)$，$Q\left(-1,-\sqrt{a^2}\right)$，进而可以计算出下列临界值：
(1) $P$在直线$y=x-\dfrac 32$上，此时$a^2=3+\dfrac{17\sqrt 2}8$；
(2) $Q$在直线$y=x-\dfrac 32$上，此时$a^2=\dfrac{25}{4}$；
(3) $PQ$与直线$y=x-\dfrac 32$相切，此时$a^2=6$；
(4) $Q$在直线$y=x-\dfrac 52$上，此时$a^2=\dfrac{49}{4}$．
所以当$a>0$时，有$a^2\in [0,6]\cup \left[\dfrac{49}4,+\infty\right)$．

于是$\left(-\infty,-6\right]\cup\left[\dfrac 72,+\infty\right)$为所求取值范围．