若不等式(x+3+2sinθcosθ)2+(x+acosθ+asinθ)2⩾18对任意实数x和θ∈[0,π2]恒成立,则实数a的取值范围是_____.
分析与解 原不等式即[x+2+(sinθ+cosθ)2]2+[x+a(sinθ+cosθ)]2⩾18.
设A(x+2,x),B(−(sinθ+cosθ)2,−a(sinθ+cosθ)),则不等式左边的几何意义是A,B之间距离的平方.点A在直线y=x−2上运动,点B在曲线y2=−a2x(x∈[−√2,−1])上运动,如图.

当a>0时,设下方曲线段端点分别为P(−√2,−√a2√2),Q(−1,−√a2),进而可以计算出下列临界值:
(1) P在直线y=x−32上,此时a2=3+17√28;
(2) Q在直线y=x−32上,此时a2=254;
(3) PQ与直线y=x−32相切,此时a2=6;
(4) Q在直线y=x−52上,此时a2=494.
所以当a>0时,有a2∈[0,6]∪[494,+∞).
于是(−∞,−6]∪[72,+∞)为所求取值范围.
怎样将习题及答案导出以作研究之用呢?
可以直接打印页面,有些模块也整理出版了:)
好解法