已知A,B,C∈(0,π2)，且sin2A+sin2B+sin2C=1，求A+B+C的最大值．
分析与解 方法一
固定C，设0<sin2A+sin2B=t<1，由于
sin2A+sin2B=(sinA+sinB)2−2sinAsinB=4sin2A+B2cos2A−B2+cos(A+B)−cos(A−B)=4sin2A+B2cos2A−B2+1−2sin2A+B2−cos(A−B)=2sin2A+B2cos(A−B)−cos(A−B)+1=t,
故2sin2A+B2=t−1cos(A−B)+1,
所以“A+B取得最大值”等价于“cos(A−B)取得最大值”，由此可知A=B．此时A+B+C=2arcsin√t2+arcsin√1−t.
令f(t)=2arcsin√t2+arcsin√1−t,
则f′(t)=1√2t−t2−12√t−t2,
易知当且仅当t=23时，f(t)取得最大值3arcsin√33．
综上所述，A+B+C的最大值为3arcsin√33．
方法二 由sin2A+sin2B+sin2C=1，可知cos2A+cos2B+cos2C=1．
令x=2A,y=2B,z=2C，则0<x,y,z<π，cosx+cosy+cosz=1，A+B+C=x+y+z2．
不妨设x⩽．
情形一 若0<x \leqslant y \leqslant z<\dfrac{\pi}{2}，则由琴生不等式可知
\cos{\dfrac{x+y+z}{3}}\geqslant \dfrac{\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}}{3}=\dfrac{1}{3},
故\dfrac{x+y+z}{3} \leqslant \arccos{\dfrac{1}{3}}，当且仅当x=y=z=\arccos{\dfrac{1}{3}}时等号成立，所以此时x+y+z的最大值为3\arccos{\dfrac{1}{3}}．
情形二 若z \geqslant \dfrac{\pi}{2}，此时显然有0<x \leqslant y \leqslant \dfrac{\pi}{2}．
固定z，由琴生不等式可知x=y时，x+y取得最大值．故原问题等价于“已知x,w\in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]，2\cos{x}-\cos{w}=1，求\pi +2x-w的最大值”．
令g(x)=2x-w=2x-\arccos{\left(2\cos{x}-1\right)}，因为2\cos{x}=1+\cos{w} \geqslant 1，所以0<x \leqslant \dfrac{\pi}{3}．
下面我们来证明g'(x)=2-\dfrac{2\sin{x}}{\sqrt{4\cos{x}-4\cos^2{x}}}\geqslant 0.
事实上，用分析法
\begin{split} g'(x)\geqslant 0&\Leftarrow \sin^2{x} \leqslant 4\cos{x}-4\cos^2{x}\\ &\Leftarrow 3\cos^2{x}-4\cos{x}+1\leqslant 0\\ &\Leftarrow \left(\cos{x}-1\right)\left(3\cos{x}-1\right)\leqslant 0, \end{split}
由于0<x \leqslant \dfrac{\pi}{3}，所以\dfrac{1}{2}\leqslant \cos{x}<1，故\left(\cos{x}-1\right)\left(3\cos{x}-1\right)\leqslant 0成立．因此g(x)_{\max}=g \left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{2},故此时\left(\pi +2x-w\right)_{\max}=\dfrac{7\pi}{6}．由于3\arccos{\dfrac{1}{3}}>\dfrac{7\pi}{6}，所以综合情形一与情形二可知，A+B+C的最大值为\dfrac{3}{2}\arccos{\dfrac{1}{3}}．