一类椭圆内接四边形面积探索

已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$的长轴上(不包含端点)有点$M(m,0)$($-a<m<a$)，过$M$作互相垂直线的两条弦$AC,BD$，探索凸四边形$ABCD$的面积的取值范围，研究当$m$取什么值时，该取值范围较容易求出．

分析与解　设$AC:x=ty+m$，将弦$AC$与椭圆$E$的长轴重合的情形视为$t\to +\infty$的情形，则联立直线与椭圆方程可得

$$\left(\dfrac{t^2}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)y^2+\dfrac{2mt}{a^2}y+\dfrac{m^2}{a^2}-1=0,$$ 于是 $$|AC|=\dfrac{2ab\sqrt{(1+t^2)(b^2t^2+a^2-m^2)}}{b^2t^2+a^2},$$ 进而 $$|BD|=\dfrac{2ab\sqrt{(1+t^2)[(a^2-m^2)t^2+b^2]}}{a^2t^2+b^2},$$ 这样就有凸四边形$ABCD$的面积 $$S=\dfrac{1}{2}|AC|\cdot |BD|=\dfrac{2a^2b^2(1+t^2)\sqrt{(b^2t^2+a^2-m^2)[(a^2-m^2)t^2+b^2]}}{(b^2t^2+a^2)(a^2t^2+b^2)},$$ 令$\lambda=\dfrac{b^2}{a^2}$，$\mu=1-\dfrac{m^2}{a^2}$，$x=t^2+\dfrac{1}{t^2}$，则 $$S=2a^2\sqrt{\lambda\mu}\cdot \sqrt{\dfrac{(x+2)\left(x+\dfrac{\mu}{\lambda}+\dfrac{\lambda}{\mu}\right)}{\left(x+\lambda+\dfrac{1}{\lambda}\right)^2}},$$ 特别地，当$\lambda =\mu$即$m=\pm c$时，有 $$S=2b^2\cdot \dfrac{x+2}{x+\dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}},$$ 此时$S$的取值范围是$\left[\dfrac{8a^2b^4}{(a^2+b^2)^2},2b^2\right]$．

当$\mu=\lambda^2$即$m=\pm \dfrac ca\cdot \sqrt{a^2+b^2}$时，有

$$S=2a^2\sqrt{\lambda^3}\cdot \sqrt{\dfrac{x+2}{x+\lambda +\dfrac{1}{\lambda}}},$$ 此时$S$的取值范围是$\left[\dfrac{4b^4}{a^2+b^2},\dfrac{2b^3}{a}\right]$．

注　两种特殊情况下，面积的最小值都是在$t=\pm 1$时取到的，面积最大值都是在对角线与坐标轴平行或重合时取到的．