双曲线x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与双曲线交于A,B两点.
(1) 若l的倾斜角为π2,△F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2) 设b=√3,若l的斜率存在,且(→F1A+→F1B)⋅→AB=0,求l的斜率.
解 (1)y=±√2x.
(2)如图,由题意,A,B两点分别位于双曲线的两支上,且|AF1|=|BF1|.设该双曲线的左准线为l1:x=−12,线段AB的中点为M,则A,B两点分别位于左准线l1的左右两边,且到l1的距离相等,故点M落在l1上.
设点M坐标为(−12,m),则→F1M⋅→F2M=(32,m)⋅(−52,m)=m2−154=0,解得m=±√152,所以直线l的斜率为±√155.