2016年上海卷理科数学解析几何大题

双曲线x2y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线lF2且与双曲线交于A,B两点.

(1) 若l的倾斜角为π2F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;

(2) 设b=3,若l的斜率存在,且(F1A+F1B)AB=0,求l的斜率.


 (1)y=±2x

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(2)如图,由题意,A,B两点分别位于双曲线的两支上,且|AF1|=|BF1|.设该双曲线的左准线为l1:x=12,线段AB的中点为M,则A,B两点分别位于左准线l1的左右两边,且到l1的距离相等,故点M落在l1上.

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设点M坐标为(12,m),则F1MF2M=(32,m)(52,m)=m2154=0,解得m=±152,所以直线l的斜率为±155

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