2016年上海卷理科数学解析几何大题

双曲线$x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1(b>0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，直线$l$过$F_2$且与双曲线交于$A,B$两点．

(1) 若$l$的倾斜角为$\dfrac{\pi}{2}$，$\triangle{F_1AB}$是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

(2) 设$b=\sqrt{3}$，若$l$的斜率存在，且$\left(\overrightarrow{F_1A}+\overrightarrow{F_1B}  \right)\cdot\overrightarrow{AB}=0$，求$l$的斜率．

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解  (1)$y=\pm \sqrt{2}x$．

(2)如图，由题意，$A,B$两点分别位于双曲线的两支上，且$\left|AF_1\right|=\left|BF_1\right|$．设该双曲线的左准线为$l_1:x=-\dfrac{1}{2}$，线段$AB$的中点为$M$，则$A,B$两点分别位于左准线$l_1$的左右两边，且到$l_1$的距离相等，故点$M$落在$l_1$上．

设点$M$坐标为$\left(-\dfrac{1}{2},m\right)$，则

$$\overrightarrow{F_1M}\cdot\overrightarrow{F_2M}=\left(\dfrac{3}{2},m \right)\cdot\left(-\dfrac{5}{2},m \right)=m^2-\dfrac{15}{4}=   0,$$ 解得 $$m=\pm \dfrac{\sqrt{15} }{2},$$ 所以直线$l$的斜率为$\pm \dfrac{\sqrt{15} }{5}$．